関数 $y=2x^2-12x+c$ (ただし $1 \le x \le 4$) の最大値が5であるとき、定数 $c$ の値を求め、そのときの最小値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y=2x^2-12x+c$ (ただし $1 \le x \le 4$) の最大値が5であるとき、定数 $c$ の値を求め、そのときの最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y=2x^2-12x+c = 2(x^2-6x)+c = 2(x^2-6x+9-9)+c = 2(x-3)^2-18+c$

したがって、$y=2(x-3)^2-18+c$ となります。

この関数の軸は $x=3$ です。定義域は $1 \le x \le 4$ なので、軸は定義域に含まれます。

$x=3$ のとき、最小値は $y = -18+c$ をとります。

次に最大値を考えます。

軸 $x=3$ から最も離れた点は $x=1$ です。したがって、$x=1$ で最大値をとります。

$x=1$ のとき、$y=2(1)^2-12(1)+c = 2-12+c = -10+c$

問題文より、最大値は5なので、 $-10+c=5$ となります。

これを解くと、$c=15$ となります。

したがって、関数は $y=2(x-3)^2-18+15 = 2(x-3)^2-3$ となります。

このとき、最小値は $x=3$ のときにとり、その値は $y=-3$ となります。

3. 最終的な答え

$c=15$

最小値：-3