2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフが3点 $(-1, 1), (0, -1), (1, 2)$ を通る時、このグラフの頂点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフが3点 $(-1, 1), (0, -1), (1, 2)$ を通る時、このグラフの頂点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた3点の座標を $y = ax^2 + bx + c$ に代入して、a, b, c に関する3つの連立方程式を作ります。

$(-1, 1)$ を代入すると、$1 = a(-1)^2 + b(-1) + c = a - b + c$

$(0, -1)$ を代入すると、$-1 = a(0)^2 + b(0) + c = c$

$(1, 2)$ を代入すると、$2 = a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c$

よって、以下の連立方程式が得られます。

$a - b + c = 1$

$c = -1$

$a + b + c = 2$

$c = -1$ を他の2つの式に代入すると、

$a - b - 1 = 1$ $\Rightarrow a - b = 2$

$a + b - 1 = 2$ $\Rightarrow a + b = 3$

これらの2つの式を足し合わせると、$2a = 5$ となり、$a = \frac{5}{2}$ が得られます。

次に、$a + b = 3$ に $a = \frac{5}{2}$ を代入すると、$\frac{5}{2} + b = 3$ となり、$b = 3 - \frac{5}{2} = \frac{6}{2} - \frac{5}{2} = \frac{1}{2}$ が得られます。

したがって、$a = \frac{5}{2}, b = \frac{1}{2}, c = -1$ となります。

元の式に代入すると、$y = \frac{5}{2}x^2 + \frac{1}{2}x - 1$ となります。

次に、この式を平方完成します。

$y = \frac{5}{2}(x^2 + \frac{1}{5}x) - 1$

$y = \frac{5}{2}(x^2 + \frac{1}{5}x + (\frac{1}{10})^2 - (\frac{1}{10})^2) - 1$

$y = \frac{5}{2}(x + \frac{1}{10})^2 - \frac{5}{2}(\frac{1}{100}) - 1$

$y = \frac{5}{2}(x + \frac{1}{10})^2 - \frac{1}{40} - 1$

$y = \frac{5}{2}(x + \frac{1}{10})^2 - \frac{41}{40}$

したがって、頂点の座標は $(-\frac{1}{10}, -\frac{41}{40})$ です。

3. 最終的な答え

頂点の座標は $(-\frac{1}{10}, -\frac{41}{40})$ です。