$(2x - 2y - z)^5$ の展開式における $x^2 y z^2$ の係数を求める。

1. 問題の内容

$(2x - 2y - z)^5$ の展開式における $x^2 y z^2$ の係数を求める。

2. 解き方の手順

多項定理を用いる。$(a+b+c)^n$ の展開式における $a^p b^q c^r$ の係数は

$\frac{n!}{p!q!r!}a^p b^q c^r$

で与えられる。ただし、$p+q+r=n$である。

今回の問題では、$(2x - 2y - z)^5$ の展開式における $x^2 y z^2$ の係数を求めるので、

$a=2x$, $b=-2y$, $c=-z$, $n=5$, $p=2$, $q=1$, $r=2$ となる。

このとき、$p+q+r = 2+1+2 = 5 = n$ を満たしている。

よって、$x^2 y z^2$ の係数は

$\frac{5!}{2!1!2!} (2x)^2 (-2y)^1 (-z)^2 = \frac{5!}{2!1!2!} \cdot 2^2 \cdot (-2)^1 \cdot (-1)^2 \cdot x^2 y z^2$

$= \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1)(1)(2 \cdot 1)} \cdot 4 \cdot (-2) \cdot 1 \cdot x^2 y z^2$

$= (5 \cdot 2 \cdot 3) \cdot (-8) \cdot x^2 y z^2$

$= 30 \cdot (-8) \cdot x^2 y z^2$

$= -240 x^2 y z^2$

したがって、$x^2 y z^2$ の係数は -240 である。

3. 最終的な答え

-240