軸が直線 $x=1$ で、2点 $(3, -1)$, $(0, 2)$ を通る二次関数を求めよ。

1. 問題の内容

軸が直線 $x=1$ で、2点 $(3, -1)$, $(0, 2)$ を通る二次関数を求めよ。

2. 解き方の手順

軸が $x=1$ であることから、求める二次関数は

$y = a(x-1)^2 + q$ と表せる。

この二次関数が2点 $(3, -1)$, $(0, 2)$ を通ることから、以下の連立方程式が得られる。

$-1 = a(3-1)^2 + q$

$2 = a(0-1)^2 + q$

これを整理すると、

$-1 = 4a + q$

$2 = a + q$

第2式から第1式を引くと、

$2 - (-1) = a + q - (4a + q)$

$3 = -3a$

$a = -1$

これを第2式に代入すると、

$2 = -1 + q$

$q = 3$

したがって、二次関数は

$y = -(x-1)^2 + 3$

$y = -(x^2 - 2x + 1) + 3$

$y = -x^2 + 2x - 1 + 3$

$y = -x^2 + 2x + 2$

3. 最終的な答え

$y = -x^2 + 2x + 2$