1個のサイコロを投げて出る目を確率変数 $X$ とするとき、以下の確率変数の期待値、分散、標準偏差を求める問題です。 (1) $X+4$ (2) $-2X$ (3) $3X-2$

1. 問題の内容

1個のサイコロを投げて出る目を確率変数 $X$ とするとき、以下の確率変数の期待値、分散、標準偏差を求める問題です。

(1) $X+4$

(2) $-2X$

(3) $3X-2$

2. 解き方の手順

まず、確率変数 $X$ の期待値 $E(X)$, 分散 $V(X)$, 標準偏差 $\sigma(X)$ を求めます。

サイコロの目は1から6なので、$X$ は1から6までの値を等確率でとります。

* 期待値 $E(X)$ の計算

$E(X) = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$

* 分散 $V(X)$ の計算

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$

$E(X^2) = \frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6} = \frac{1+4+9+16+25+36}{6} = \frac{91}{6}$

$V(X) = \frac{91}{6} - (\frac{7}{2})^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12}$

* 標準偏差 $\sigma(X)$ の計算

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{\frac{35}{12}} = \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{12}} = \frac{\sqrt{35}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{105}}{6}$

次に、以下の公式を利用して各確率変数の期待値、分散、標準偏差を計算します。

$E(aX+b) = aE(X) + b$

$V(aX+b) = a^2V(X)$

$\sigma(aX+b) = |a|\sigma(X)$

(1) $X+4$

$E(X+4) = E(X) + 4 = \frac{7}{2} + 4 = \frac{7+8}{2} = \frac{15}{2}$

$V(X+4) = V(X) = \frac{35}{12}$

$\sigma(X+4) = \sigma(X) = \frac{\sqrt{105}}{6}$

(2) $-2X$

$E(-2X) = -2E(X) = -2 \cdot \frac{7}{2} = -7$

$V(-2X) = (-2)^2V(X) = 4 \cdot \frac{35}{12} = \frac{35}{3}$

$\sigma(-2X) = |-2|\sigma(X) = 2 \cdot \frac{\sqrt{105}}{6} = \frac{\sqrt{105}}{3}$

(3) $3X-2$

$E(3X-2) = 3E(X) - 2 = 3 \cdot \frac{7}{2} - 2 = \frac{21}{2} - \frac{4}{2} = \frac{17}{2}$

$V(3X-2) = 3^2V(X) = 9 \cdot \frac{35}{12} = \frac{315}{12} = \frac{105}{4}$

$\sigma(3X-2) = |3|\sigma(X) = 3 \cdot \frac{\sqrt{105}}{6} = \frac{\sqrt{105}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $X+4$

期待値: $\frac{15}{2}$

分散: $\frac{35}{12}$

標準偏差: $\frac{\sqrt{105}}{6}$

(2) $-2X$

期待値: $-7$

分散: $\frac{35}{3}$

標準偏差: $\frac{\sqrt{105}}{3}$

(3) $3X-2$

期待値: $\frac{17}{2}$

分散: $\frac{105}{4}$

標準偏差: $\frac{\sqrt{105}}{2}$