$0 \le x < 2\pi$のとき、次の方程式と不等式を解く問題です。 (1) $2\cos 2x + 4\cos x - 1 = 0$ (2) $\cos x < \sqrt{3} \sin x$

1. 問題の内容

$0 \le x < 2\pi$のとき、次の方程式と不等式を解く問題です。

(1) $2\cos 2x + 4\cos x - 1 = 0$

(2) $\cos x < \sqrt{3} \sin x$

2. 解き方の手順

(1)

$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ を用いて、$2\cos 2x + 4\cos x - 1 = 0$を$\cos x$の式に書き換えます。

$2(2\cos^2 x - 1) + 4\cos x - 1 = 0$

$4\cos^2 x + 4\cos x - 3 = 0$

$(2\cos x - 1)(2\cos x + 3) = 0$

よって、$\cos x = \frac{1}{2}$ または $\cos x = -\frac{3}{2}$

$-1 \le \cos x \le 1$ なので、$\cos x = -\frac{3}{2}$ は解なしです。

$\cos x = \frac{1}{2}$ を満たす $0 \le x < 2\pi$ の範囲の $x$ は、$x = \frac{\pi}{3}$と$x = \frac{5\pi}{3}$ です。

(2)

$\cos x < \sqrt{3} \sin x$

両辺を $\cos x$ で割ると、$\tan x > \frac{1}{\sqrt{3}}$ となります。ただし、$\cos x$ の符号に注意する必要があります。

$\cos x = 0$ のときは $0 < \sqrt{3} (\pm 1)$ なので、$\cos x < \sqrt{3} \sin x$ は成り立ちます。

$\cos x = 0$ となる $x$ は、$x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$

$0 \le x < 2\pi$のとき、$\tan x > \frac{1}{\sqrt{3}}$ の解は $\frac{\pi}{6} < x < \frac{\pi}{2}, \frac{7\pi}{6} < x < \frac{3\pi}{2}$

よって、不等式 $\cos x < \sqrt{3} \sin x$ の解は $\frac{\pi}{6} < x < \frac{\pi}{2}, \frac{7\pi}{6} < x < \frac{3\pi}{2}$となります。

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

(2) $\frac{\pi}{6} < x < \frac{\pi}{2}, \frac{7\pi}{6} < x < \frac{3\pi}{2}$