$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ とする。$\sin\theta + \cos\theta = \frac{1}{5}$ のとき、次の式の値を求めよ。 (1) $\sin\theta\cos\theta$ (2) $\sin^3\theta + \cos^3\theta$

はい、承知いたしました。問題と解答を以下に示します。

1. 問題の内容

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ とする。$\sin\theta + \cos\theta = \frac{1}{5}$ のとき、次の式の値を求めよ。

(1) $\sin\theta\cos\theta$

(2) $\sin^3\theta + \cos^3\theta$

2. 解き方の手順

(1)

$\sin\theta + \cos\theta = \frac{1}{5}$ の両辺を2乗すると

$(\sin\theta + \cos\theta)^2 = (\frac{1}{5})^2$

$\sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = \frac{1}{25}$

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ であるから、

$1 + 2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{25}$

$2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{25} - 1 = \frac{1-25}{25} = -\frac{24}{25}$

$\sin\theta\cos\theta = -\frac{12}{25}$

(2)

$\sin^3\theta + \cos^3\theta = (\sin\theta + \cos\theta)(\sin^2\theta - \sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta)$

$= (\sin\theta + \cos\theta)(1 - \sin\theta\cos\theta)$

$\sin\theta + \cos\theta = \frac{1}{5}$ および $\sin\theta\cos\theta = -\frac{12}{25}$ を代入すると

$\sin^3\theta + \cos^3\theta = (\frac{1}{5})(1 - (-\frac{12}{25}))$

$= \frac{1}{5}(1 + \frac{12}{25}) = \frac{1}{5}(\frac{25+12}{25}) = \frac{1}{5} \cdot \frac{37}{25} = \frac{37}{125}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin\theta\cos\theta = -\frac{12}{25}$

(2) $\sin^3\theta + \cos^3\theta = \frac{37}{125}$