赤色のカード4枚、青色のカード3枚、黄色のカード2枚、白色のカード1枚の合計10枚のカードを1列に並べる。 (1) 10枚のカードの並べ方の総数を求める。 (2) 左から3枚の色が全て同じ並べ方の数を求める。

1. 問題の内容

赤色のカード4枚、青色のカード3枚、黄色のカード2枚、白色のカード1枚の合計10枚のカードを1列に並べる。

(1) 10枚のカードの並べ方の総数を求める。

(2) 左から3枚の色が全て同じ並べ方の数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 10枚のカードの並べ方の総数

10枚のカードの並べ方の総数は、同じものを含む順列の考え方を利用する。

$\frac{10!}{4!3!2!1!}$を計算する。

$\frac{10!}{4!3!2!1!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(4 \times 3 \times 2 \times 1) \times (3 \times 2 \times 1) \times (2 \times 1) \times 1} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5}{6 \times 2} = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times \frac{5}{2} = 10 \times 3 \times 4 \times 7 \times 5 = 12600$

(2) 左から3枚の色が全て同じ並べ方の数

左から3枚の色が全て同じになるのは、赤色または青色のときのみである。

(i) 左から3枚が赤色のとき：残りの7枚は、赤1枚、青3枚、黄2枚、白1枚となる。この7枚の並べ方は$\frac{7!}{1!3!2!1!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4}{2} = 7 \times 6 \times 5 \times 2 = 420$通り。

(ii) 左から3枚が青色のとき：残りの7枚は、赤4枚、青0枚、黄2枚、白1枚となる。この7枚の並べ方は$\frac{7!}{4!2!1!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{2} = 7 \times 3 \times 5 = 105$通り。

したがって、左から3枚の色が全て同じ並べ方の数は、$420 + 105 = 525$通り。

3. 最終的な答え

(1) 10枚のカードの並べ方は全部で 12600 通り。

(2) 左から3枚の色が全て同じものは 525 通り。