問題52は、正五角形に関する問題で、(1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数を求め、(2) 対角線の本数を求める問題です。 問題53は、大人5人と子供10人の合計15人の中から5人を選ぶとき、(1) すべての選び方は何通りあるか、(2) 大人2人と子供3人を選ぶ選び方は何通りあるかを求める問題です。

1. 問題の内容

問題52は、正五角形に関する問題で、(1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数を求め、(2) 対角線の本数を求める問題です。

問題53は、大人5人と子供10人の合計15人の中から5人を選ぶとき、(1) すべての選び方は何通りあるか、(2) 大人2人と子供3人を選ぶ選び方は何通りあるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

問題52

(1) 正五角形の5つの頂点から3つを選ぶ組み合わせを考えます。これは組み合わせの記号を使って ${}_5C_3$ と表されます。

${}_5C_3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

(2) 正五角形の対角線の本数を求めます。正五角形には5つの頂点があり、それぞれの頂点から自分自身と隣り合う2つの頂点以外の頂点へ線が引けます。つまり、各頂点から2本の対角線が引けます。5つの頂点からそれぞれ2本ずつ引くと、合計で $5 \times 2 = 10$ 本となりますが、これは各対角線を2回ずつ数えているため、2で割る必要があります。したがって、対角線の本数は $10/2 = 5$ 本となります。

もしくは、5つの頂点から2つを選ぶ組み合わせ(${}_5C_2 = 10$)から、隣り合う頂点を選ぶ組み合わせ(5辺)を引くことでも計算できます。

${}_5C_2 - 5 = 10 - 5 = 5$

問題53

(1) 15人の中から5人を選ぶ組み合わせを考えます。これは組み合わせの記号を使って ${}_{15}C_5$ と表されます。

${}_{15}C_5 = \frac{15!}{5!(15-5)!} = \frac{15!}{5!10!} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 3003$

(2) 大人2人と子供3人を選ぶ組み合わせを考えます。

大人5人の中から2人を選ぶ組み合わせは ${}_5C_2$ 通りです。

${}_5C_2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

子供10人の中から3人を選ぶ組み合わせは ${}_{10}C_3$ 通りです。

${}_{10}C_3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$

したがって、大人2人と子供3人を選ぶ組み合わせは ${}_5C_2 \times {}_{10}C_3 = 10 \times 120 = 1200$ 通りです。

3. 最終的な答え

問題52

(1) 10個

(2) 5本

問題53

(1) 3003通り

(2) 1200通り