直方体において、辺FG上に点P、辺CG上に点Qがあり、$FP = GQ = x$ cmとする。 (1) 三角錐QPGHの体積を$x$を用いて表す。 (2) 三角錐QPGHの体積が4 cm$^3$となるときの、$x$の値を求める。

1. 問題の内容

直方体において、辺FG上に点P、辺CG上に点Qがあり、$FP = GQ = x$ cmとする。

(1) 三角錐QPGHの体積を$x$を用いて表す。

(2) 三角錐QPGHの体積が4 cm$^3$となるときの、$x$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

三角錐QPGHの体積は、底面を三角形PGH、高さをGQとしたときの体積である。

三角形PGHの面積は、$\frac{1}{2} \times PG \times GH = \frac{1}{2} \times (5-x) \times 4 = 2(5-x)$ cm$^2$となる。

したがって、三角錐QPGHの体積は、$\frac{1}{3} \times 2(5-x) \times x = \frac{2}{3}x(5-x)$ cm$^3$である。

(2)

三角錐QPGHの体積が4 cm$^3$となるとき、$\frac{2}{3}x(5-x) = 4$が成り立つ。

これを解くと、

$2x(5-x) = 12$

$10x - 2x^2 = 12$

$2x^2 - 10x + 12 = 0$

$x^2 - 5x + 6 = 0$

$(x-2)(x-3) = 0$

$x = 2, 3$

$x$は辺FGの長さ5cmより小さい必要があるため、どちらの解も条件を満たす。

3. 最終的な答え

(1) 三角錐QPGHの体積は、$\frac{2}{3}x(5-x)$ cm$^3$

(2) $x = 2, 3$