長方形ABCDがあり、AB=16cm, AD=8cmである。点PはAを出発し、AB上を毎秒1cmでBに向かう。点QはDを出発し、DA上を毎秒2cmでAに向かう。 (1) 点PがAを出発してからx秒後のAQの長さを求めよ。 (2) △APQの面積が8cm^2になるのは、点PがAを出発してから何秒後か求めよ。

1. 問題の内容

長方形ABCDがあり、AB=16cm, AD=8cmである。点PはAを出発し、AB上を毎秒1cmでBに向かう。点QはDを出発し、DA上を毎秒2cmでAに向かう。

(1) 点PがAを出発してからx秒後のAQの長さを求めよ。

(2) △APQの面積が8cm^2になるのは、点PがAを出発してから何秒後か求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

点PがAを出発してからx秒後のAPの長さは $x$ cmである。

点QがDを出発してからx秒後のDQの長さは $2x$ cmである。

したがって、AQの長さは $AD - DQ = 8 - 2x$ cmとなる。ただし、$0 \le x \le 4$ である。

(2)

△APQの面積は、 $\frac{1}{2} \times AP \times AQ = \frac{1}{2} \times x \times (8 - 2x)$ となる。

△APQの面積が8cm^2になるので、

$\frac{1}{2} x (8 - 2x) = 8$

$x(8 - 2x) = 16$

$8x - 2x^2 = 16$

$2x^2 - 8x + 16 = 0$

$x^2 - 4x + 8 = 0$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \times 8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{-16}}{2}$

判別式が負なので、実数解を持たない。

しかし、点QがDからAに向かう速さは毎秒2cmなので、QがAに到達するのは4秒後である。また、点PがAからBに向かう速さは毎秒1cmなので、PがBに到達するのは16秒後である。

$0 \le x \le 4$ でなければならない。

$\frac{1}{2} \times x \times (8 - 2x) = 8$

$4x - x^2 = 8$

$x^2 - 4x + 8 = 0$

この二次方程式を解くと、判別式は $D = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 8 = 16 - 32 = -16 < 0$ であるため、実数解を持たない。

条件を満たすようなxは存在しない。

3. 最終的な答え

(1) $8-2x$ cm

(2) 存在しない