一辺の長さが1の正方形ABCDがあり、点Pが頂点Aから出発する。硬貨を1回投げるごとに、表が出れば2、裏が出れば1だけ反時計回りに辺上を進む。硬貨を5回投げ終えたとき、点Pがちょうど頂点Aにある確率を求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが1の正方形ABCDがあり、点Pが頂点Aから出発する。硬貨を1回投げるごとに、表が出れば2、裏が出れば1だけ反時計回りに辺上を進む。硬貨を5回投げ終えたとき、点Pがちょうど頂点Aにある確率を求めよ。

2. 解き方の手順

点Pが頂点Aに到達するためには、5回の硬貨投げで進む距離の合計が4の倍数である必要がある。表が出る回数を$x$、裏が出る回数を$y$とすると、$x+y=5$であり、$2x+y$が4の倍数でなければならない。

$2x + y = 4k$ (kは整数)という関係が成り立つ。

$y = 5-x$ を代入すると、$2x + (5-x) = 4k$。

$x+5 = 4k$。

$x = 4k-5$。

$x$は表の回数なので、$0 \le x \le 5$。

$0 \le 4k-5 \le 5$

$5 \le 4k \le 10$

$5/4 \le k \le 10/4 = 5/2 = 2.5$

$k$は整数なので、$k=2$。

したがって、$x = 4 \times 2 - 5 = 3$。

$y = 5-x = 5-3 = 2$。

つまり、表が3回、裏が2回出れば、点Pは頂点Aに到達する。

硬貨を5回投げるうち、表が3回、裏が2回出る組み合わせの数は、二項係数で計算できる。

$\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$。

硬貨を投げる際に表が出る確率を$p$、裏が出る確率を$1-p$とする。公正な硬貨であれば、$p = 1/2$である。

5回投げて表が3回、裏が2回出る確率は、

$\binom{5}{3} (\frac{1}{2})^3 (\frac{1}{2})^2 = 10 \times (\frac{1}{2})^5 = \frac{10}{32} = \frac{5}{16}$。

3. 最終的な答え

点Pがちょうど頂点Aにある確率は$\frac{5}{16}$。