双曲線 $ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $ の導関数を求め、双曲線上の点 $(x_0, y_0)$ における接線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

双曲線 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ の導関数を求め、双曲線上の点 $(x_0, y_0)$ における接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 導関数の算出

陰関数微分を用いて、$y$ を $x$ の関数として微分します。

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

両辺を $x$ で微分します。

$\frac{2x}{a^2} - \frac{2y}{b^2} \frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{2y}{b^2} \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{a^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{b^2x}{a^2y}$

(2) 接線の方程式の算出

点 $(x_0, y_0)$ における接線の傾きは、$\frac{dy}{dx}$ に $x=x_0, y=y_0$ を代入したものです。

接線の傾き $m = \frac{b^2x_0}{a^2y_0}$

点 $(x_0, y_0)$ を通り、傾き $m$ の直線の方程式は次のようになります。

$y - y_0 = m(x - x_0)$

$y - y_0 = \frac{b^2x_0}{a^2y_0}(x - x_0)$

両辺に $a^2y_0$ をかけます。

$a^2y_0(y - y_0) = b^2x_0(x - x_0)$

$a^2yy_0 - a^2y_0^2 = b^2xx_0 - b^2x_0^2$

$b^2x_0^2 - a^2y_0^2 = b^2xx_0 - a^2yy_0$

ここで、点 $(x_0, y_0)$ は双曲線上の点なので、$\frac{x_0^2}{a^2} - \frac{y_0^2}{b^2} = 1$ が成り立ちます。

したがって、$b^2x_0^2 - a^2y_0^2 = a^2b^2$ となります。

$a^2b^2 = b^2xx_0 - a^2yy_0$

両辺を $a^2b^2$ で割ります。

$\frac{xx_0}{a^2} - \frac{yy_0}{b^2} = 1$

3. 最終的な答え

導関数:

$\frac{dy}{dx} = \frac{b^2x}{a^2y}$

接線の方程式:

$\frac{xx_0}{a^2} - \frac{yy_0}{b^2} = 1$