左から順に、ある規則に従って自然数が1つずつ書かれたカードを並べていく問題です。具体的には、 1. 7段目まで並べたとき、7のカードが全部で何枚並べられているかを求める。 2. 一番右の自然数が25になるのは、何段目かを求める。 3. $n \geq 5$のとき、$n$段目の左から5枚目に並べられたカードに書かれた自然数を、$n$を使った最も簡単な式で表す。 4. $n$段目の左から1枚目、2枚目、3枚目に並べられた3枚のカードに書かれた自然数の和が153であるとき、$n$段目の一番右に並べられたカードに書かれた自然数を求める。

## カード並べの問題

1. **問題の内容**

左から順に、ある規則に従って自然数が1つずつ書かれたカードを並べていく問題です。具体的には、

1. 7段目まで並べたとき、7のカードが全部で何枚並べられているかを求める。

2. 一番右の自然数が25になるのは、何段目かを求める。

3. $n \geq 5$のとき、$n$段目の左から5枚目に並べられたカードに書かれた自然数を、$n$を使った最も簡単な式で表す。

4. $n$段目の左から1枚目、2枚目、3枚目に並べられた3枚のカードに書かれた自然数の和が153であるとき、$n$段目の一番右に並べられたカードに書かれた自然数を求める。

2. **解き方の手順**

1. **7のカードの枚数**

各段のカードの枚数は、段数と同じです。また、各段の数字は、段数から始まる連続した整数です。したがって、$k$段目に$m$という数字が現れるための必要十分条件は、$k \leq m \leq 2k-1$です。

7のカードが現れるのは、4段目（4,5,6,7）、5段目（5,6,7,8,9）、6段目（6,7,8,9,10,11）、7段目（7,8,9,10,11,12,13）です。したがって、7のカードは全部で4枚並べられています。

2. **一番右の数が25**

$n$段目の一番右の数は、$n + (n - 1) = 2n - 1$です。したがって、$2n - 1 = 25$を解くと、$2n = 26$となり、$n = 13$です。

3. **n段目の左から5枚目**

$n$段目の左端の数は$n$です。したがって、左から5枚目の数は$n + 4$です。

4. **3枚の和が153**

$n$段目の左から1枚目、2枚目、3枚目の数はそれぞれ、$n, n+1, n+2$です。それらの和は$n + (n+1) + (n+2) = 3n + 3$です。これが153に等しいので、$3n + 3 = 153$。これを解くと、$3n = 150$、$n = 50$です。

したがって、$n$段目の一番右の数は、$2n - 1 = 2 * 50 - 1 = 99$です。

3. **最終的な答え**

1. 7のカードは全部で**4枚**

2. 一番右の自然数が25になるのは、**13段目**

3. $n$段目の左から5枚目は、$n + 4$

4. $n$段目の一番右の数は、**99**