問題は以下の3つの部分から構成されています。 (1) $f'(x) = 2(x-1)$ かつ $f(-1) = 0$ を満たす関数 $f(x)$ を求める。 (2) $f(x) = \int_a^x g(t) dt$ を満たす関数 $g(x)$ と定数 $a$ の値を求める。 (3) 関数 $h(x) = \int_{-x}^x f(t) dt$ の極値を求める。

1. 問題の内容

問題は以下の3つの部分から構成されています。

(1) $f'(x) = 2(x-1)$ かつ $f(-1) = 0$ を満たす関数 $f(x)$ を求める。

(2) $f(x) = \int_a^x g(t) dt$ を満たす関数 $g(x)$ と定数 $a$ の値を求める。

(3) 関数 $h(x) = \int_{-x}^x f(t) dt$ の極値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $f(x)$ を求める。

$f'(x) = 2(x-1)$ を積分して $f(x)$ を求めます。

$f(x) = \int 2(x-1) dx = \int (2x - 2) dx = x^2 - 2x + C$

ここで、$C$ は積分定数です。$f(-1) = 0$ という条件から、$C$ を求めます。

$f(-1) = (-1)^2 - 2(-1) + C = 1 + 2 + C = 3 + C = 0$

したがって、$C = -3$ です。

よって、$f(x) = x^2 - 2x - 3$

(2) 関数 $g(x)$ と定数 $a$ の値を求める。

$f(x) = \int_a^x g(t) dt$ を満たす $g(x)$ と $a$ を求める。

両辺を $x$ で微分すると、$f'(x) = g(x)$ となります。

問題文より $f'(x) = 2(x-1) = 2x - 2$ なので、$g(x) = 2x - 2$

$f(a) = \int_a^a g(t) dt = 0$ である必要があります。

$f(x) = x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1)$ なので、$f(x) = 0$ となるのは $x = 3$ または $x = -1$ のときです。

したがって、$a = 3$ または $a = -1$ です。

(3) 関数 $h(x)$ の極値を求める。

$h(x) = \int_{-x}^x f(t) dt$ の極値を求める。

$h'(x) = f(x) - f(-x) \cdot (-1) = f(x) + f(-x)$

$h'(x) = (x^2 - 2x - 3) + ((-x)^2 - 2(-x) - 3) = (x^2 - 2x - 3) + (x^2 + 2x - 3) = 2x^2 - 6$

$h'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$2x^2 - 6 = 0 \Rightarrow x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm \sqrt{3}$

$h''(x) = 4x$

$h''(\sqrt{3}) = 4\sqrt{3} > 0$ より、$x = \sqrt{3}$ で極小値をとる。

$h''(-\sqrt{3}) = -4\sqrt{3} < 0$ より、$x = -\sqrt{3}$ で極大値をとる。

$h(\sqrt{3}) = \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (t^2 - 2t - 3) dt = \left[ \frac{1}{3}t^3 - t^2 - 3t \right]_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} = \left(\frac{1}{3}(3\sqrt{3}) - 3 - 3\sqrt{3}\right) - \left(\frac{1}{3}(-3\sqrt{3}) - 3 + 3\sqrt{3}\right) = \sqrt{3} - 3 - 3\sqrt{3} + \sqrt{3} + 3 - 3\sqrt{3} = -4\sqrt{3}$

$h(-\sqrt{3}) = \int_{\sqrt{3}}^{-\sqrt{3}} (t^2 - 2t - 3) dt = - \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (t^2 - 2t - 3) dt = - (-4\sqrt{3}) = 4\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = x^2 - 2x - 3$

(2) $g(x) = 2x - 2$, $a = 3$ または $a = -1$

(3) $x = -\sqrt{3}$ で極大値 $4\sqrt{3}$、 $x = \sqrt{3}$ で極小値 $-4\sqrt{3}$