関数 $f(x) = \frac{1}{x^{\sqrt{x}} + x^{\sin x}}$ (ただし、$x>0$) の1次導関数 $f'(x)$ を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{x^{\sqrt{x}} + x^{\sin x}}$ (ただし、$x>0$) の1次導関数 $f'(x)$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$g(x) = x^{\sqrt{x}} + x^{\sin x}$ と置くと、$f(x) = \frac{1}{g(x)}$。

合成関数の微分より、$f'(x) = -\frac{g'(x)}{g(x)^2}$ である。したがって、$g'(x)$ を求める必要がある。

$g(x) = x^{\sqrt{x}} + x^{\sin x}$ の各項をそれぞれ微分する。

$h(x) = x^{\sqrt{x}}$ と置くと、両辺の自然対数をとって、

$\ln h(x) = \sqrt{x} \ln x$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{h'(x)}{h(x)} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \ln x + \sqrt{x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{\ln x}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{\ln x + 2}{2\sqrt{x}}$

したがって、

$h'(x) = h(x) \cdot \frac{\ln x + 2}{2\sqrt{x}} = x^{\sqrt{x}} \cdot \frac{\ln x + 2}{2\sqrt{x}}$

次に、$k(x) = x^{\sin x}$ と置くと、両辺の自然対数をとって、

$\ln k(x) = \sin x \ln x$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{k'(x)}{k(x)} = \cos x \ln x + \sin x \cdot \frac{1}{x} = \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x}$

したがって、

$k'(x) = k(x) \cdot (\cos x \ln x + \frac{\sin x}{x}) = x^{\sin x} (\cos x \ln x + \frac{\sin x}{x})$

$g'(x) = h'(x) + k'(x) = x^{\sqrt{x}} \cdot \frac{\ln x + 2}{2\sqrt{x}} + x^{\sin x} (\cos x \ln x + \frac{\sin x}{x})$

$f'(x) = -\frac{g'(x)}{g(x)^2} = -\frac{x^{\sqrt{x}} \cdot \frac{\ln x + 2}{2\sqrt{x}} + x^{\sin x} (\cos x \ln x + \frac{\sin x}{x})}{(x^{\sqrt{x}} + x^{\sin x})^2}$

3. 最終的な答え

$f'(x) = -\frac{x^{\sqrt{x}} \frac{\ln x + 2}{2\sqrt{x}} + x^{\sin x} \left( \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x} \right)}{\left( x^{\sqrt{x}} + x^{\sin x} \right)^2}$