次の極限が存在するように定数 $a$, $b$, $c$ を求めよ。 $\lim_{x\to\infty} x\{\sqrt{x^2+3x+1}-(ax+b)\} = c$

1. 問題の内容

次の極限が存在するように定数 $a$, $b$, $c$ を求めよ。

$\lim_{x\to\infty} x\{\sqrt{x^2+3x+1}-(ax+b)\} = c$

2. 解き方の手順

まず、$x$ を無限大に近づけたときの$\sqrt{x^2+3x+1}$ の振る舞いを考える。

$\sqrt{x^2+3x+1} = \sqrt{x^2(1 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2})} = x\sqrt{1 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}$

ここで、$x\to\infty$ のとき $\frac{3}{x}\to 0$ かつ $\frac{1}{x^2}\to 0$ である。

したがって、$a\neq 1$ のとき $\lim_{x\to\infty} x\{\sqrt{x^2+3x+1}-(ax+b)\}$ は$\pm \infty$ に発散するため、$a=1$ である必要がある。

$a=1$を代入すると、

$\lim_{x\to\infty} x\{\sqrt{x^2+3x+1}-(x+b)\} = \lim_{x\to\infty} x\frac{(\sqrt{x^2+3x+1}-(x+b))(\sqrt{x^2+3x+1}+(x+b))}{\sqrt{x^2+3x+1}+(x+b)}$

$= \lim_{x\to\infty} x\frac{(x^2+3x+1)-(x+b)^2}{\sqrt{x^2+3x+1}+(x+b)}$

$= \lim_{x\to\infty} x\frac{x^2+3x+1-(x^2+2bx+b^2)}{\sqrt{x^2+3x+1}+(x+b)}$

$= \lim_{x\to\infty} x\frac{(3-2b)x + (1-b^2)}{\sqrt{x^2+3x+1}+(x+b)}$

$= \lim_{x\to\infty} \frac{(3-2b)x^2 + (1-b^2)x}{\sqrt{x^2+3x+1}+(x+b)}$

$= \lim_{x\to\infty} \frac{(3-2b)x^2 + (1-b^2)x}{x\sqrt{1+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}}+(x+b)}$

$= \lim_{x\to\infty} \frac{(3-2b)x + (1-b^2)}{\sqrt{1+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}}+(1+\frac{b}{x})}$

ここで、$x\to\infty$ のとき $\frac{3}{x}\to 0$, $\frac{1}{x^2}\to 0$, $\frac{b}{x}\to 0$ である。

極限が有限の値 $c$ を持つためには、$3-2b = 0$ である必要がある。

$3-2b = 0$ より、$b = \frac{3}{2}$

$b=\frac{3}{2}$ を代入すると、

$\lim_{x\to\infty} \frac{(1-(\frac{3}{2})^2)x}{\sqrt{x^2+3x+1}+(x+\frac{3}{2})} = \lim_{x\to\infty} \frac{(1-\frac{9}{4})x}{\sqrt{x^2+3x+1}+(x+\frac{3}{2})}$

$= \lim_{x\to\infty} \frac{-\frac{5}{4}x}{\sqrt{x^2+3x+1}+(x+\frac{3}{2})}$

$= \lim_{x\to\infty} \frac{-\frac{5}{4}x}{x\sqrt{1+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}}+(x+\frac{3}{2})}$

$= \lim_{x\to\infty} \frac{-\frac{5}{4}}{\sqrt{1+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}}+(1+\frac{3}{2x})}$

$= \frac{-\frac{5}{4}}{\sqrt{1+0+0}+(1+0)} = \frac{-\frac{5}{4}}{1+1} = -\frac{5}{8}$

したがって、$c = -\frac{5}{8}$

3. 最終的な答え

$a = 1$

$b = \frac{3}{2}$

$c = -\frac{5}{8}$