与えられた逆三角関数の値を求め、また逆三角関数を含む方程式を解く問題です。具体的には、以下の問題を解きます。 3. (1) $\sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ (2) $\cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$ (3) $\cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ 4. (1) $\sin^{-1}x = \tan^{-1}\sqrt{5}$ (2) $\sin^{-1}x = \sin^{-1}\frac{1}{3} + \sin^{-1}\frac{7}{9}$

1. 問題の内容

与えられた逆三角関数の値を求め、また逆三角関数を含む方程式を解く問題です。具体的には、以下の問題を解きます。

3. (1) $\sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

(2) $\cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$

(3) $\cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

4. (1) $\sin^{-1}x = \tan^{-1}\sqrt{5}$

(2) $\sin^{-1}x = \sin^{-1}\frac{1}{3} + \sin^{-1}\frac{7}{9}$

2. 解き方の手順

3. (1) $\sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ の計算

$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ を求める。ただし、$-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$。

$\theta = \frac{\pi}{3}$

(2) $\cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$ の計算

$\cos \theta = -\frac{1}{2}$ となる $\theta$ を求める。ただし、$0 \leq \theta \leq \pi$。

$\theta = \frac{2\pi}{3}$

(3) $\cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ の計算

$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ を求める。ただし、$0 \leq \theta \leq \pi$。

$\theta = \frac{\pi}{6}$

4. (1) $\sin^{-1}x = \tan^{-1}\sqrt{5}$ の計算

$\sin^{-1}x = \theta$ とおくと、$x = \sin \theta$。

$\theta = \tan^{-1}\sqrt{5}$ より、$\tan \theta = \sqrt{5}$。

$\cos^2\theta = \frac{1}{1+\tan^2\theta} = \frac{1}{1+5} = \frac{1}{6}$

$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{6}}$（$\theta$は第一象限の角なので、正）

$\sin \theta = \tan \theta \cos \theta = \sqrt{5}\cdot \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}$

したがって、$x = \frac{\sqrt{30}}{6}$

(2) $\sin^{-1}x = \sin^{-1}\frac{1}{3} + \sin^{-1}\frac{7}{9}$ の計算

$\alpha = \sin^{-1}\frac{1}{3}$ , $\beta = \sin^{-1}\frac{7}{9}$とおくと、

$\sin \alpha = \frac{1}{3}$, $\sin \beta = \frac{7}{9}$

$\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\cos \beta = \sqrt{1 - \sin^2 \beta} = \sqrt{1 - \frac{49}{81}} = \sqrt{\frac{32}{81}} = \frac{4\sqrt{2}}{9}$

$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{3} \cdot \frac{4\sqrt{2}}{9} + \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{7}{9} = \frac{4\sqrt{2}}{27} + \frac{14\sqrt{2}}{27} = \frac{18\sqrt{2}}{27} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$x = \sin(\sin^{-1}\frac{1}{3} + \sin^{-1}\frac{7}{9}) = \sin(\alpha + \beta) = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

3. 最終的な答え

4. (1) $\frac{\pi}{3}$

(2) $\frac{2\pi}{3}$

(3) $\frac{\pi}{6}$

5. (1) $x = \frac{\sqrt{30}}{6}$

(2) $x = \frac{2\sqrt{2}}{3}$