$a$を定数とする。関数 $y = \sin\theta - \cos\theta + a\sin2\theta$ があり、$\theta = \frac{\pi}{4}$ のとき、$y = \frac{1}{2}$ である。また、$t = \sin(\theta - \frac{\pi}{4})$ とする。 (1) $a$の値を求めよ。また、$0 \le \theta \le \pi$ のとき、$t$のとり得る値の範囲を求めよ。 (2) $t$を$\sin\theta$, $\cos\theta$を用いて表せ。また、$t^2$を$\sin2\theta$を用いて表せ。 (3) $0 \le \theta \le \pi$のとき、$y$の最大値と最小値を求めよ。また、そのときの$\theta$の値をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

$a$を定数とする。関数 $y = \sin\theta - \cos\theta + a\sin2\theta$ があり、$\theta = \frac{\pi}{4}$ のとき、$y = \frac{1}{2}$ である。また、$t = \sin(\theta - \frac{\pi}{4})$ とする。

(1) $a$の値を求めよ。また、$0 \le \theta \le \pi$ のとき、$t$のとり得る値の範囲を求めよ。

(2) $t$を$\sin\theta$, $\cos\theta$を用いて表せ。また、$t^2$を$\sin2\theta$を用いて表せ。

(3) $0 \le \theta \le \pi$のとき、$y$の最大値と最小値を求めよ。また、そのときの$\theta$の値をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$\theta = \frac{\pi}{4}$ のとき、$y = \frac{1}{2}$ であるから、

$\frac{1}{2} = \sin\frac{\pi}{4} - \cos\frac{\pi}{4} + a\sin\frac{\pi}{2}$

$\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + a$

$a = \frac{1}{2}$

$t = \sin(\theta - \frac{\pi}{4})$ であり、$0 \le \theta \le \pi$ であるから、

$-\frac{\pi}{4} \le \theta - \frac{\pi}{4} \le \frac{3\pi}{4}$

よって、

$-\frac{\sqrt{2}}{2} \le \sin(\theta - \frac{\pi}{4}) \le 1$

$-\frac{\sqrt{2}}{2} \le t \le 1$

(2)

$t = \sin(\theta - \frac{\pi}{4}) = \sin\theta\cos\frac{\pi}{4} - \cos\theta\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\theta - \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin\theta - \cos\theta)$

$t^2 = \frac{1}{2}(\sin\theta - \cos\theta)^2 = \frac{1}{2}(\sin^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta) = \frac{1}{2}(1 - \sin2\theta)$

$t^2 = \frac{1}{2}(1 - \sin2\theta)$

$\sin2\theta = 1 - 2t^2$

(3)

$y = \sin\theta - \cos\theta + a\sin2\theta = \sin\theta - \cos\theta + \frac{1}{2}\sin2\theta$

$\sin\theta - \cos\theta = \sqrt{2}t$

$\sin2\theta = 1 - 2t^2$

$y = \sqrt{2}t + \frac{1}{2}(1 - 2t^2) = -t^2 + \sqrt{2}t + \frac{1}{2} = -(t - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = -(t - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 + 1$

$t$の範囲は $-\frac{\sqrt{2}}{2} \le t \le 1$

$t = \frac{\sqrt{2}}{2}$のとき、最大値 $y = 1$

$\sin(\theta - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\theta - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$

$\theta = \frac{\pi}{2}$

$t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$のとき、最小値 $y = -(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2})^2 + 1 = -(\sqrt{2})^2 + 1 = -2 + 1 = -1$

$\sin(\theta - \frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\theta - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4}$

$\theta = 0$

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{1}{2}$, $-\frac{\sqrt{2}}{2} \le t \le 1$

(2) $t = \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin\theta - \cos\theta)$, $t^2 = \frac{1}{2}(1 - \sin2\theta)$

(3) 最大値: $y = 1$ ($\theta = \frac{\pi}{2}$), 最小値: $y = -1$ ($\theta = 0$)