自然数 $n$ を、それより小さい自然数の和として表す方法の数を求める問題です。ただし、和の順序が異なるものは別の表し方として数えます。 (1) 自然数 4 の表し方は何通りあるか。 (2) 自然数 5 の表し方は何通りあるか。 (3) 自然数 $n$ の表し方は何通りあるか (ただし $n \geq 2$)。

1. 問題の内容

自然数 $n$ を、それより小さい自然数の和として表す方法の数を求める問題です。ただし、和の順序が異なるものは別の表し方として数えます。

(1) 自然数 4 の表し方は何通りあるか。

(2) 自然数 5 の表し方は何通りあるか。

(3) 自然数 $n$ の表し方は何通りあるか (ただし $n \geq 2$)。

2. 解き方の手順

(1) 自然数 4 の場合：

- 3 + 1

- 2 + 2

- 2 + 1 + 1

- 1 + 3

- 1 + 2 + 1

- 1 + 1 + 2

- 1 + 1 + 1 + 1

合計 7 通り

(2) 自然数 5 の場合：

- 4 + 1

- 3 + 2

- 3 + 1 + 1

- 2 + 3

- 2 + 2 + 1

- 2 + 1 + 2

- 2 + 1 + 1 + 1

- 1 + 4

- 1 + 3 + 1

- 1 + 2 + 2

- 1 + 2 + 1 + 1

- 1 + 1 + 3

- 1 + 1 + 2 + 1

- 1 + 1 + 1 + 2

- 1 + 1 + 1 + 1 + 1

合計 15 通り

(3) 自然数 $n$ の場合：

$n = a_1 + a_2 + ... + a_k$ (ただし $a_i$ は自然数で、$a_i < n$)

$n$ の場合の数を $f(n)$ とします。

$n=2$ のとき、$1+1$ なので、$f(2)=1$

$n=3$ のとき、$2+1, 1+2, 1+1+1$ なので、$f(3)=3$

$n=4$ のとき、$f(4)=7$

$n=5$ のとき、$f(5)=15$

これらの結果から、

$f(n) = 2^{n-1} - 1$

と推測できます。

数学的帰納法を用いて証明します。

1. $n=2$ のとき、$f(2) = 2^{2-1}-1 = 2^1-1 = 1$ で成立

2. $n=k$ のとき、$f(k) = 2^{k-1} - 1$ が成立すると仮定

3. $n=k+1$ のとき、$f(k+1)$ を計算する。

$k+1$ を表す和の中で、最初の数が $j$ であるとすると、残りの和は $k+1-j$ です。ここで $1 \le j \le k$ です。

$k+1-j$ を表す方法の数は $j = k$ のとき $1$ 、 $j<k$のとき $f(k+1-j) = 2^{k-j}-1$ である.

$f(k+1) = \sum_{j=1}^k f(k+1-j) = 2^{k-1} + 2^{k-2} + ... + 2^1 + 2^0 = 2^k-1$

したがって、$n=k+1$ のときも成立。

3. 最終的な答え

(1) 7 通り

(2) 15 通り

(3) $2^{n-1}-1$ 通り