直線 $l: y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$ があり、直線 $l$ 上の $x$ 座標が3である点Pを通る傾き2の直線 $m$ があります。2直線 $l, m$ と $x$ 軸との交点をそれぞれA, Bとするとき、以下の問いに答えます。 (1) 直線 $m$ の式を求めます。 (2) 三角形ABPの面積を求めます。

1. 問題の内容

直線 $l: y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$ があり、直線 $l$ 上の $x$ 座標が3である点Pを通る傾き2の直線 $m$ があります。2直線 $l, m$ と $x$ 軸との交点をそれぞれA, Bとするとき、以下の問いに答えます。

(1) 直線 $m$ の式を求めます。

(2) 三角形ABPの面積を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 点Pの座標を求めます。

直線 $l$ の式 $y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$ に $x = 3$ を代入すると、

$y = \frac{1}{2} \times 3 + \frac{5}{2} = \frac{3}{2} + \frac{5}{2} = \frac{8}{2} = 4$

よって、点Pの座標は (3, 4) です。

次に、傾きが2で点P(3, 4)を通る直線 $m$ の式を求めます。

直線 $m$ の式を $y = 2x + b$ とおきます。点P(3, 4)を通るので、

$4 = 2 \times 3 + b$

$4 = 6 + b$

$b = 4 - 6 = -2$

したがって、直線 $m$ の式は $y = 2x - 2$ です。

(2) 点A, Bの座標を求めます。

点Aは直線 $l$ と $x$ 軸との交点なので、$y = 0$ を $y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$ に代入すると、

$0 = \frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$

$-\frac{1}{2}x = \frac{5}{2}$

$x = -5$

よって、点Aの座標は (-5, 0) です。

点Bは直線 $m$ と $x$ 軸との交点なので、$y = 0$ を $y = 2x - 2$ に代入すると、

$0 = 2x - 2$

$2x = 2$

$x = 1$

よって、点Bの座標は (1, 0) です。

三角形ABPの面積を求めます。

線分ABを底辺とすると、底辺の長さは $|-5 - 1| = |-6| = 6$ です。

高さは点Pの $y$ 座標なので、4です。

三角形ABPの面積は、

$\frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12$

3. 最終的な答え

(1) $y = 2x - 2$

(2) 12