三角形ABCにおいて、$AB = 3$, $AC = 2$である。$\vec{PA} + 2\vec{PB} + 3\vec{PC} = \vec{AB}$となる点Pをとると、$AP \perp BC$となる。このとき、辺BCの長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = 3$, $AC = 2$である。$\vec{PA} + 2\vec{PB} + 3\vec{PC} = \vec{AB}$となる点Pをとると、$AP \perp BC$となる。このとき、辺BCの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{PA} + 2\vec{PB} + 3\vec{PC} = \vec{AB}$を変形する。基準点をAにすると、

$\vec{AP} = \vec{AP} + 2(\vec{AP} - \vec{AB}) + 3(\vec{AP} - \vec{AC}) = \vec{AB}$

$\vec{0} = -\vec{AP} + 2(\vec{AB} - \vec{AP}) + 3(\vec{AC} - \vec{AP}) - \vec{AB}$

$6\vec{AP} = \vec{AB} + 3\vec{AC}$

$\vec{AP} = \frac{1}{6}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC}$

次に、$AP \perp BC$の条件から、$\vec{AP} \cdot \vec{BC} = 0$である。

$\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$なので、

$(\frac{1}{6}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC}) \cdot (\vec{AC} - \vec{AB}) = 0$

$\frac{1}{6} \vec{AB} \cdot \vec{AC} - \frac{1}{6}|\vec{AB}|^2 + \frac{1}{2}|\vec{AC}|^2 - \frac{1}{2}\vec{AC} \cdot \vec{AB} = 0$

$-\frac{1}{3} \vec{AB} \cdot \vec{AC} - \frac{1}{6}|\vec{AB}|^2 + \frac{1}{2}|\vec{AC}|^2 = 0$

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \frac{3}{2}|\vec{AC}|^2 - \frac{1}{2}|\vec{AB}|^2 = \frac{3}{2} \cdot 2^2 - \frac{1}{2} \cdot 3^2 = 6 - \frac{9}{2} = \frac{3}{2}$

余弦定理より、

$|\vec{BC}|^2 = |\vec{AC}|^2 + |\vec{AB}|^2 - 2 \vec{AB} \cdot \vec{AC}$

$|\vec{BC}|^2 = 2^2 + 3^2 - 2 \cdot \frac{3}{2} = 4 + 9 - 3 = 10$

$|\vec{BC}| = \sqrt{10}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{10}$