1次変換 $f: R^2 \rightarrow R^2$ があり、$p = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \end{pmatrix}$、$q = \begin{pmatrix} q_1 \\ q_2 \end{pmatrix}$、$q = f(p) = Ap$、$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ が与えられている。xy平面上の2点(1,1), (3,1)をそれぞれ点(3,8), (7,16)に移す1次変換であるとき、fを表す行列Aを求めよ。

1. 問題の内容

1次変換 $f: R^2 \rightarrow R^2$ があり、$p = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \end{pmatrix}$、$q = \begin{pmatrix} q_1 \\ q_2 \end{pmatrix}$、$q = f(p) = Ap$、$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ が与えられている。xy平面上の2点(1,1), (3,1)をそれぞれ点(3,8), (7,16)に移す1次変換であるとき、fを表す行列Aを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた条件から以下の式が得られます。

$f\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 8 \end{pmatrix}$

$f\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 16 \end{pmatrix}$

$f(p) = Ap$なので、

$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 8 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 16 \end{pmatrix}$

これにより、以下の連立方程式が得られます。

$a + b = 3$

$c + d = 8$

$3a + b = 7$

$3c + d = 16$

最初の二つの式から$b = 3 - a$、次の二つの式から$d = 8 - c$が得られます。

これを残りの二つの式に代入します。

$3a + (3 - a) = 7$

$3c + (8 - c) = 16$

$2a + 3 = 7$

$2c + 8 = 16$

$2a = 4$

$2c = 8$

$a = 2$

$c = 4$

$b = 3 - a = 3 - 2 = 1$

$d = 8 - c = 8 - 4 = 4$

したがって、$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 4 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 4 \end{pmatrix}$