問題は、2次元ベクトルに対する変換 $f(p) = p + (p \cdot c)c$ が与えられたときに、 (1) $f$ が線形性を持つことを証明し、 (2) $c = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ の場合の基本ベクトル $e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ と $e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ の像 $f(e_1)$ と $f(e_2)$ を求め、 (3) (2) の場合に変換 $f$ を表す行列 $A$ を求める、というものです。

1. 問題の内容

問題は、2次元ベクトルに対する変換 $f(p) = p + (p \cdot c)c$ が与えられたときに、

(1) $f$ が線形性を持つことを証明し、

(2) $c = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ の場合の基本ベクトル $e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ と $e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ の像 $f(e_1)$ と $f(e_2)$ を求め、

(3) (2) の場合に変換 $f$ を表す行列 $A$ を求める、というものです。

2. 解き方の手順

(1) 線形性を示す

$f(u+v) = (u+v) + ((u+v) \cdot c)c$

$= u + v + (u \cdot c + v \cdot c)c$

$= u + (u \cdot c)c + v + (v \cdot c)c$

$= \{u + (u \cdot c)c\} + \{v + (v \cdot c)c\}$

$= f(u) + f(v)$

よって、最初の括弧には $f(u)$ が入り、(a)の式になる。

$f(ku) = ku + (ku \cdot c)c$

$= ku + k(u \cdot c)c$

$= k(u + (u \cdot c)c)$

$= kf(u)$

よって、最初の括弧には $k$ が入り、(b)の式になる。

(2) $c = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ のとき、$f(e_1)$ と $f(e_2)$ を求める

$e_1 \cdot c = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = 1 \times 3 + 0 \times 4 = 3$

$e_2 \cdot c = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = 0 \times 3 + 1 \times 4 = 4$

$f(e_1) = e_1 + (e_1 \cdot c)c = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 3\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 9 \\ 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 12 \end{pmatrix}$

$f(e_2) = e_2 + (e_2 \cdot c)c = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} + 4\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 12 \\ 16 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \\ 17 \end{pmatrix}$

(3) 行列 $A$ を求める

$A = (f(e_1) \ f(e_2)) = \begin{pmatrix} 10 & 12 \\ 12 & 17 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1)

$f(u+v) = f(u) + f(v)$

$f(ku) = kf(u)$

(2)

$e_1 \cdot c = 3$

$e_2 \cdot c = 4$

$f(e_1) = \begin{pmatrix} 10 \\ 12 \end{pmatrix}$

$f(e_2) = \begin{pmatrix} 12 \\ 17 \end{pmatrix}$

(3)

$A = \begin{pmatrix} 10 & 12 \\ 12 & 17 \end{pmatrix}$