関数 $y = -x^2 + 4ax - a$ ($0 \le x \le 2$) について、以下の問いに答えます。 (1) 最大値を求めよ。 (2) 最小値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = -x^2 + 4ax - a$ ($0 \le x \le 2$) について、以下の問いに答えます。

(1) 最大値を求めよ。

(2) 最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = -x^2 + 4ax - a = -(x^2 - 4ax) - a = -(x^2 - 4ax + 4a^2 - 4a^2) - a = -(x - 2a)^2 + 4a^2 - a$

したがって、グラフは上に凸な放物線で、頂点の座標は $(2a, 4a^2 - a)$ です。

(1) 最大値を求める手順：

定義域 $0 \le x \le 2$ における最大値を考えます。軸 $x = 2a$ の位置によって場合分けを行います。

* $2a < 0$、つまり $a < 0$ のとき：

$f(x)$ は区間 $[0, 2]$ で減少関数となるので、$x = 0$ で最大値をとります。最大値は $y = -0^2 + 4a(0) - a = -a$

* $0 \le 2a \le 2$、つまり $0 \le a \le 1$ のとき：

頂点の $x$ 座標が区間 $[0, 2]$ に含まれるので、$x = 2a$ で最大値をとります。最大値は $y = 4a^2 - a$

* $2 < 2a$、つまり $1 < a$ のとき：

$f(x)$ は区間 $[0, 2]$ で増加関数となるので、$x = 2$ で最大値をとります。最大値は $y = -2^2 + 4a(2) - a = -4 + 8a - a = 7a - 4$

(2) 最小値を求める手順：

定義域 $0 \le x \le 2$ における最小値を考えます。定義域の中央 $x = 1$ と軸 $x = 2a$ の位置関係によって場合分けを行います。

* $2a < 1$、つまり $a < \frac{1}{2}$ のとき：

$x = 2$ で最小値をとります。最小値は $y = -2^2 + 4a(2) - a = -4 + 8a - a = 7a - 4$

* $2a = 1$、つまり $a = \frac{1}{2}$ のとき：

$x = 0, 2$ で最小値をとります。最小値は $y = -a = -\frac{1}{2}$

* $2a > 1$、つまり $a > \frac{1}{2}$ のとき：

$x = 0$ で最小値をとります。最小値は $y = -a$

3. 最終的な答え

(1) 最大値：

$a < 0$ のとき $-a$

$0 \le a \le 1$ のとき $4a^2 - a$

$1 < a$ のとき $7a - 4$

(2) 最小値：

$a < \frac{1}{2}$ のとき $7a - 4$

$a = \frac{1}{2}$ のとき $-\frac{1}{2}$

$a > \frac{1}{2}$ のとき $-a$