1辺が1cmの正方形の黒い紙と白い紙を規則的に並べて図形を作る。 x番目の図形について、黒い部分の面積と白い部分の面積をxの式で表す。 白い部分の面積が144cm^2になるのは何番目の図形か求める。

1. 問題の内容

1辺が1cmの正方形の黒い紙と白い紙を規則的に並べて図形を作る。

x番目の図形について、黒い部分の面積と白い部分の面積をxの式で表す。

白い部分の面積が144cm^2になるのは何番目の図形か求める。

2. 解き方の手順

(1)x番目の図形の黒い部分と白い部分の面積を求める。

x番目の図形の一辺の長さは、$2x-1$ cmである。

x番目の図形の面積は、$(2x-1)^2 = 4x^2 - 4x + 1$ cm^2である。

黒い部分と白い部分の面積は、x=1の場合を除き、ほぼ等しくなる。

具体的には、以下のようになる。

- xが偶数のとき、黒い部分と白い部分の面積は等しい。

- xが奇数のとき、黒い部分の面積は白い部分の面積より1 cm^2大きい。

xが偶数の場合、黒い部分と白い部分の面積はそれぞれ

$\frac{4x^2 - 4x + 1}{2} = 2x^2 - 2x + \frac{1}{2}$ cm^2

xが奇数の場合、黒い部分は

$\frac{4x^2 - 4x + 1 + 1}{2} = 2x^2 - 2x + 1$ cm^2

白い部分は

$\frac{4x^2 - 4x + 1 - 1}{2} = 2x^2 - 2x$ cm^2

(2)白い部分の面積が144cm^2になるのは何番目の図形か。

白い部分の面積が144cm^2となるxを求める。

$2x^2 - 2x = 144$　または　$2x^2 - 2x + \frac{1}{2} = 144$

$2x^2 - 2x - 144 = 0$

$x^2 - x - 72 = 0$

$(x-9)(x+8) = 0$

$x = 9, -8$

$2x^2 - 2x + \frac{1}{2} - 144 = 0$

$4x^2 - 4x + 1 - 288 = 0$

$4x^2 - 4x - 287 = 0$

xは正の整数なので、x = 9が答え。

したがって、9番目の図形の白い部分の面積が144cm^2になる。

3. 最終的な答え

① 黒い部分の面積：xが偶数のとき $2x^2 - 2x + \frac{1}{2}$ cm^2、xが奇数のとき $2x^2 - 2x + 1$ cm^2

白い部分の面積：xが偶数のとき $2x^2 - 2x + \frac{1}{2}$ cm^2、xが奇数のとき $2x^2 - 2x$ cm^2

② 9番目