与えられた多項式 $8p^3 + 36p^2q + 54pq^2 + 27q^3$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた多項式 $8p^3 + 36p^2q + 54pq^2 + 27q^3$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

この多項式は、$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ という公式に似ています。

$8p^3 = (2p)^3$ と $27q^3 = (3q)^3$ であることに注目すると、

$a = 2p$ と $b = 3q$ とおくことが考えられます。

このとき、

$3a^2b = 3(2p)^2(3q) = 3(4p^2)(3q) = 36p^2q$

$3ab^2 = 3(2p)(3q)^2 = 3(2p)(9q^2) = 54pq^2$

となり、与えられた多項式は$(2p+3q)^3$と一致することがわかります。

したがって、$8p^3 + 36p^2q + 54pq^2 + 27q^3 = (2p)^3 + 3(2p)^2(3q) + 3(2p)(3q)^2 + (3q)^3 = (2p + 3q)^3$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(2p + 3q)^3$