2次関数 $f(x) = x^2 - 2ax + a + 2$ について、以下の問いに答える。 (1) $y = f(x)$ の頂点の座標を求める。 (2) $y = f(x)$ が $x$ 軸と接するときの $a$ の値を求める。 (3) $y = f(x)$ が $-1 < x < 3$ の範囲でただ1つの共有点をもつような $a$ の値の範囲を求める。

## 問題５

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 2ax + a + 2$ について、以下の問いに答える。

(1) $y = f(x)$ の頂点の座標を求める。

(2) $y = f(x)$ が $x$ 軸と接するときの $a$ の値を求める。

(3) $y = f(x)$ が $-1 < x < 3$ の範囲でただ1つの共有点をもつような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 頂点の座標を求める。

平方完成を行い、$y=f(x)$ を $y = (x-p)^2 + q$ の形に変形する。このとき、頂点の座標は $(p, q)$ となる。

$f(x) = x^2 - 2ax + a + 2 = (x^2 - 2ax + a^2) - a^2 + a + 2 = (x-a)^2 - a^2 + a + 2$

したがって、頂点の座標は $(a, -a^2 + a + 2)$ である。

(2) $y = f(x)$ が $x$ 軸と接するときの $a$ の値を求める。

$y = f(x)$ が $x$ 軸と接するとき、$f(x) = 0$ が重解を持つ。つまり、判別式 $D = 0$ となる。

$D = (-2a)^2 - 4(1)(a+2) = 4a^2 - 4a - 8$

$D=0$ より、$4a^2 - 4a - 8 = 0$

$a^2 - a - 2 = 0$

$(a-2)(a+1) = 0$

$a = 2, -1$

(3) $y = f(x)$ が $-1 < x < 3$ の範囲でただ1つの共有点をもつような $a$ の値の範囲を求める。

$f(x) = x^2 - 2ax + a + 2 = 0$ が $-1 < x < 3$ の範囲でただ1つの解を持つ条件を考える。

$f(x)=0$が解を持つ条件は以下のように分類される。

i) $-1 < x < 3$ の範囲に1つの解を持つ場合。

ii) $x=-1$または$x=3$に解を持つ場合。

まず、$f(x) = 0$が $-1 < x < 3$の範囲に2つの解を持つことはない（ただ一つの共有点しか持たないため）ことを確認しておく。

グラフの軸 $x = a$ の位置と、区間の端点での関数の値の符号を考慮する。

* $f(-1) \cdot f(3) < 0$ のとき、$f(x) = 0$ は $-1 < x < 3$ の範囲にただ1つの解を持つ。

$f(-1) = (-1)^2 - 2a(-1) + a + 2 = 1 + 2a + a + 2 = 3a + 3$

$f(3) = (3)^2 - 2a(3) + a + 2 = 9 - 6a + a + 2 = -5a + 11$

$(3a + 3)(-5a + 11) < 0$

$(a + 1)(5a - 11) > 0$

$a < -1$ または $a > \frac{11}{5}$

* $f(-1) = 0$ のとき、$3a + 3 = 0$ より $a = -1$。このとき、$f(x) = x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$ であり、$x = -1$ は重解。$-1 < x < 3$ には解を持たない。 よって、$a=-1$は条件を満たさない。

* $f(3) = 0$ のとき、$-5a + 11 = 0$ より $a = \frac{11}{5}$。このとき、$f(x) = x^2 - \frac{22}{5}x + \frac{11}{5} + 2 = x^2 - \frac{22}{5}x + \frac{21}{5} = 0$。

解は、$x = \frac{\frac{22}{5} \pm \sqrt{(\frac{22}{5})^2 - 4\cdot\frac{21}{5}}}{2} = \frac{\frac{22}{5} \pm \sqrt{\frac{484}{25} - \frac{420}{5}}}{2} = \frac{\frac{22}{5} \pm \sqrt{\frac{4}{25}}}{2} = \frac{\frac{22}{5} \pm \frac{2}{5}}{2} = \frac{12}{5}, 2$。よって、$x=2, x= \frac{22}{5}$。 $x=3$で一つの解を持つ場合、$x=3$以外の解が $-1 < x < 3$ に存在してはならないので、ここでは $a=11/5$ は除外される。

しかし、この範囲に解を持つようなケースが他にもありえる。判別式$D$の符号にも注目する必要がある。

i) $D > 0$のとき、$x^2 - 2ax + a + 2 = 0$ は異なる2つの実数解を持つ。$a<-1$または$a>2$が必要条件となる。

$f(-1)>0$ and $f(3)>0$ の場合、$y=f(x)$が $-1 < x < 3$ の範囲に解を持たない。

ii) $D=0$の場合。これは、$a=-1$または$a=2$の時なので、最初に検証した場合に当てはまる。

$a=2$の時、$f(x) = x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2 = 0$。解は$x=2$なので、$-1 < x < 3$ にただ一つの解を持つ。

$a=-1$の時、$f(x) = x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2 = 0$。解は$x=-1$なので、$-1 < x < 3$ に解を持たない。

iii) $D<0$の場合。解は存在しない。よって考慮しない。

$D>0$ のケースを考察すると、$a<-1$ または $a>2$の場合、$f(-1)$ と $f(3)$が同符号の時、$f(-1)>0, f(3)>0$を満たすかどうかを検証する必要がある。

$a < -1$ かつ $a > 11/5$ または、$a > \frac{11}{5}$ かつ $a < -1$は不可能。

よって、

$a < -1$ かつ $3a+3 > 0$ かつ $-5a+11 > 0$ :

$a < -1$ and $a > -1$ and $a < 11/5$ -> 不可能。

$a > \frac{11}{5}$ かつ $3a+3 > 0$ かつ $-5a+11 > 0$ :

$a>11/5$ and $a>-1$ and $a<11/5$ -> 不可能。

上記を考慮すると、$f(-1) \cdot f(3) < 0$ より、$a < -1$ または $a > \frac{11}{5}$。

加えて、$a=2$の場合条件を満たす。

3. 最終的な答え

(1) $(a, -a^2 + a + 2)$

(2) $a = -1, 2$

(3) $a < -1$ または $a = 2$ または $a > \frac{11}{5}$