与えられた双曲線 $x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1$ の漸近線を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた双曲線 $x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1$ の漸近線を求める問題です。

2. 解き方の手順

双曲線の漸近線は、双曲線の方程式において、|x|または|y|が非常に大きい場合に近づく直線です。

双曲線の方程式を書き換えます。

$x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1$

$x^2/a^2 - 1 = y^2/b^2$

$y^2 = b^2(x^2/a^2 - 1)$

$y = \pm b\sqrt{x^2/a^2 - 1}$

$x$ が非常に大きいとき、$x^2/a^2$ は 1 に比べて非常に大きくなるので、1 を無視できます。

$y \approx \pm b\sqrt{x^2/a^2} = \pm bx/a = \pm (b/a)x$

したがって、漸近線は $y = (b/a)x$ と $y = -(b/a)x$ です。 これらをまとめて表すと、

$y = \pm (b/a)x$

$ay = \pm bx$

$bx \pm ay = 0$

$y = \pm \frac{b}{a}x$

3. 最終的な答え

$y = \pm \frac{b}{a}x$