放物線 $y = \sqrt{2}x^2$ を原点の周りに $\frac{\pi}{4}$ だけ回転して得られる曲線の式を求める。 求めた曲線の式を $(v)x^2 + (w)y^2 + (\alpha)xy + (\beta)x + (\gamma)y + (\delta) = 0$ の形で表す。

1. 問題の内容

放物線 $y = \sqrt{2}x^2$ を原点の周りに $\frac{\pi}{4}$ だけ回転して得られる曲線の式を求める。

求めた曲線の式を $(v)x^2 + (w)y^2 + (\alpha)xy + (\beta)x + (\gamma)y + (\delta) = 0$ の形で表す。

2. 解き方の手順

放物線 $y = \sqrt{2}x^2$ 上の点を $(x', y')$ とする。この点を原点の周りに $-\frac{\pi}{4}$ 回転した点を $(x, y)$ とすると、回転行列より

$$$$

\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(-\frac{\pi}{4}) & -\sin(-\frac{\pi}{4}) \\ \sin(-\frac{\pi}{4}) & \cos(-\frac{\pi}{4}) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(\frac{\pi}{4}) & \sin(\frac{\pi}{4}) \\ -\sin(\frac{\pi}{4}) & \cos(\frac{\pi}{4}) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}

$$$$

よって、

$$$$

x = \frac{1}{\sqrt{2}}x' + \frac{1}{\sqrt{2}}y'

$$$$

$$$$

y = -\frac{1}{\sqrt{2}}x' + \frac{1}{\sqrt{2}}y'

$$$$

これらの式を $x', y'$ について解くと、

$$$$

x' = \frac{1}{\sqrt{2}}x - \frac{1}{\sqrt{2}}y

$$$$

$$$$

y' = \frac{1}{\sqrt{2}}x + \frac{1}{\sqrt{2}}y

$$$$

これらを $y' = \sqrt{2}x'^2$ に代入すると、

$$$$

\frac{1}{\sqrt{2}}x + \frac{1}{\sqrt{2}}y = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}x - \frac{1}{\sqrt{2}}y)^2

$$$$

$$$$

\frac{1}{\sqrt{2}}(x+y) = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}(x-y)^2

$$$$

$$$$

x+y = (x-y)^2

$$$$

$$$$

x+y = x^2 - 2xy + y^2

$$$$

$$$$

x^2 + y^2 - 2xy - x - y = 0

$$$$

3. 最終的な答え

$x^2 + y^2 - 2xy - x - y = 0$

したがって、

$(1)x^2 + (1)y^2 + (-2)xy + (-1)x + (-1)y + (0) = 0$

となります。