点A(-1, 3)と点B(5, 11)がある。 (1) 直線 $y = 2x$ を軸として点Aと対称の位置にある点Cの座標を求めよ。 (2) 直線 $y = 2x$ 上に点Pをとるとき、PA+PBが最小になる点Pの座標を求めよ。

1. 問題の内容

点A(-1, 3)と点B(5, 11)がある。

(1) 直線 $y = 2x$ を軸として点Aと対称の位置にある点Cの座標を求めよ。

(2) 直線 $y = 2x$ 上に点Pをとるとき、PA+PBが最小になる点Pの座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点Aと直線 $y = 2x$ に関して対称な点Cを求める。

まず、直線ACが直線 $y = 2x$ と直交することから、ACの傾きは $-1/2$ である。

したがって、ACの式は、

$y - 3 = -\frac{1}{2}(x + 1)$

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$

次に、直線 $y = 2x$ と直線 $y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$ の交点Mを求める。

$2x = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$

$\frac{5}{2}x = \frac{5}{2}$

$x = 1$

$y = 2$

よって、M(1, 2)。

点Mは線分ACの中点であるから、C(x, y)とすると、

$\frac{-1 + x}{2} = 1$

$x = 3$

$\frac{3 + y}{2} = 2$

$y = 1$

したがって、C(3, 1)。

(2) PA+PBが最小になる点Pを求める。

点Aを直線 $y = 2x$ に関して対称な点C(3, 1) (先程求めた点) を使う。PA = PCだから、PA + PB = PC + PB。PC + PB が最小になるのは、点C、P、Bが一直線上に並ぶときである。

直線CBの式を求める。

傾きは $\frac{11 - 1}{5 - 3} = \frac{10}{2} = 5$

$y - 1 = 5(x - 3)$

$y = 5x - 14$

点Pは直線 $y = 2x$ 上にあるから、

$2x = 5x - 14$

$3x = 14$

$x = \frac{14}{3}$

$y = 2x = \frac{28}{3}$

したがって、P($\frac{14}{3}$, $\frac{28}{3}$)。

3. 最終的な答え

(1) C(3, 1)

(2) P($\frac{14}{3}$, $\frac{28}{3}$)