(ア) 大小2つのサイコロを同時に1回投げ、大きいサイコロの出た目を $a$ 、小さいサイコロの出た目を $b$ とするとき、$a$と$b$の積が6の倍数となる確率を求めよ。 (イ) 0から9までの数字から異なる2つの数字を選び、十の位を$a$、一の位を$b$とした2桁の自然数 $n$ を作るとき、$\sqrt{98-2n}$ が自然数となるような$n$を求めよ。

1. 問題の内容

(ア) 大小2つのサイコロを同時に1回投げ、大きいサイコロの出た目を $a$ 、小さいサイコロの出た目を $b$ とするとき、$a$と$b$の積が6の倍数となる確率を求めよ。

(イ) 0から9までの数字から異なる2つの数字を選び、十の位を$a$、一の位を$b$とした2桁の自然数 $n$ を作るとき、$\sqrt{98-2n}$ が自然数となるような$n$を求めよ。

2. 解き方の手順

(ア)

まず、大小2つのサイコロの目の出方は全部で $6 \times 6 = 36$ 通りあります。

次に、$a \times b$が6の倍数となる組み合わせを考えます。6の倍数になるためには、$a \times b$が2の倍数かつ3の倍数であればよいです。

$a \times b$ が6の倍数となる組み合わせは以下の通りです。

(1,6), (2,3), (2,6), (3,2), (3,4), (3,6), (4,3), (4,6), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)

また、大小の区別があるので、以下の組み合わせも考慮します。

(6,1), (3,2), (6,2), (2,3), (4,3), (6,3), (3,4), (6,4), (6,5), (1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6), (6,6)

上記の組み合わせ数は15通りなので、確率は $\frac{15}{36} = \frac{5}{12}$ です。

(イ)

$\sqrt{98 - 2n}$ が自然数となるような $n$ を求める。$n = 10a + b$ (a, bは0から9の異なる整数) なので、

$\sqrt{98 - 2(10a + b)} = \sqrt{98 - 20a - 2b}$ が自然数になる必要がある。

$98 - 20a - 2b \ge 0$ より、$20a + 2b \le 98$、つまり $10a + b \le 49$ である。

$98 - 20a - 2b = k^2$（kは自然数）となるような $a$ と $b$ を探す。

$98 - 2(10a + b) = k^2$

$2(49 - (10a + b)) = k^2$

よって、$k^2$ は偶数である必要があるので、$k$ も偶数である。

$k=2,4,6,8$ の場合を考える。

- $k=2$のとき：$2(49 - (10a+b)) = 4$ より $49 - (10a+b) = 2$ よって $10a+b = 47$。$a=4, b=7$

- $k=4$のとき：$2(49 - (10a+b)) = 16$ より $49 - (10a+b) = 8$ よって $10a+b = 41$。$a=4, b=1$

- $k=6$のとき：$2(49 - (10a+b)) = 36$ より $49 - (10a+b) = 18$ よって $10a+b = 31$。$a=3, b=1$

- $k=8$のとき：$2(49 - (10a+b)) = 64$ より $49 - (10a+b) = 32$ よって $10a+b = 17$。$a=1, b=7$

- $k=10$のとき：$2(49 - (10a+b)) = 100$ より $49 - (10a+b) = 50$ よって $10a+b = -1$。これはありえない。

したがって、$n = 47, 41, 31, 17$

3. 最終的な答え

(ア) $\frac{5}{12}$

(イ) $17, 31, 41, 47$