袋の中に赤玉が4個、白玉が2個入っている。この中から4個の玉を同時に取り出す。取り出した4個の玉に含まれる赤玉の個数を確率変数 $X$ とする。このとき、確率変数 $5X + 3$ の期待値 $E(5X+3)$ と分散 $V(5X+3)$ を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉が4個、白玉が2個入っている。この中から4個の玉を同時に取り出す。取り出した4個の玉に含まれる赤玉の個数を確率変数 $X$ とする。このとき、確率変数 $5X + 3$ の期待値 $E(5X+3)$ と分散 $V(5X+3)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、確率変数 $X$ の取りうる値を考える。4個取り出すとき、赤玉は最小で2個、最大で4個取り出される。したがって、$X$ は 2, 3, 4 のいずれかの値をとる。

次に、$X$ の確率分布を求める。全事象は、6個から4個を取り出す組み合わせなので、${}_6C_4 = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2} = 15$ 通り。

* $X=2$ のとき、赤玉2個、白玉2個を取り出す確率 $P(X=2) = \frac{{}_4C_2 \times {}_2C_2}{{}_6C_4} = \frac{\frac{4!}{2!2!} \times 1}{15} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$

* $X=3$ のとき、赤玉3個、白玉1個を取り出す確率 $P(X=3) = \frac{{}_4C_3 \times {}_2C_1}{{}_6C_4} = \frac{4 \times 2}{15} = \frac{8}{15}$

* $X=4$ のとき、赤玉4個、白玉0個を取り出す確率 $P(X=4) = \frac{{}_4C_4 \times {}_2C_0}{{}_6C_4} = \frac{1 \times 1}{15} = \frac{1}{15}$

次に、$X$ の期待値 $E(X)$ を求める。

$E(X) = 2 \times P(X=2) + 3 \times P(X=3) + 4 \times P(X=4)$

$E(X) = 2 \times \frac{2}{5} + 3 \times \frac{8}{15} + 4 \times \frac{1}{15} = \frac{4}{5} + \frac{8}{5} + \frac{4}{15} = \frac{12}{5} + \frac{4}{15} = \frac{36+4}{15} = \frac{40}{15} = \frac{8}{3}$

$E(5X+3) = 5E(X) + 3 = 5 \times \frac{8}{3} + 3 = \frac{40}{3} + \frac{9}{3} = \frac{49}{3}$

次に、$X^2$ の期待値 $E(X^2)$ を求める。

$E(X^2) = 2^2 \times P(X=2) + 3^2 \times P(X=3) + 4^2 \times P(X=4)$

$E(X^2) = 4 \times \frac{2}{5} + 9 \times \frac{8}{15} + 16 \times \frac{1}{15} = \frac{8}{5} + \frac{24}{5} + \frac{16}{15} = \frac{32}{5} + \frac{16}{15} = \frac{96+16}{15} = \frac{112}{15}$

$X$ の分散 $V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{112}{15} - (\frac{8}{3})^2 = \frac{112}{15} - \frac{64}{9} = \frac{336 - 320}{45} = \frac{16}{45}$

$V(5X+3) = 5^2V(X) = 25 \times \frac{16}{45} = \frac{5 \times 16}{9} = \frac{80}{9}$

3. 最終的な答え

$E(5X+3) = \frac{49}{3}$

$V(5X+3) = \frac{80}{9}$