$n$ を自然数とします。1枚のコインを $2n$ 回投げます。表が出る合計回数を $X$ とします。コインの表と裏の出る確率は等しいとするとき、$X$ の期待値と標準偏差をそれぞれ求めます。

1. 問題の内容

$n$ を自然数とします。1枚のコインを $2n$ 回投げます。表が出る合計回数を $X$ とします。コインの表と裏の出る確率は等しいとするとき、$X$ の期待値と標準偏差をそれぞれ求めます。

2. 解き方の手順

$X$ は二項分布に従います。

1回のコイン投げで表が出る確率は $p = \frac{1}{2}$ です。

$2n$ 回のコイン投げで表が出る回数 $X$ は、二項分布 $B(2n, \frac{1}{2})$ に従います。

二項分布の期待値と分散は以下の通りです。

期待値 $E(X) = np$

分散 $V(X) = np(1-p)$

標準偏差 $\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{np(1-p)}$

この問題では、$n$ が $2n$ に、$p$ が $\frac{1}{2}$ に対応するので、

$E(X) = 2n \times \frac{1}{2} = n$

$V(X) = 2n \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{n}{2}$

$\sigma(X) = \sqrt{\frac{n}{2}}$

3. 最終的な答え

期待値：$n$

標準偏差：$\sqrt{\frac{n}{2}}$