与えられた無限級数の値を求め、それが $ \frac{\pi}{2} $ に等しいことを確認する問題です。級数は次の通りです。 $ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k)!}{2^{2k}(k!)^2} \frac{1}{2k+1} $

1. 問題の内容

与えられた無限級数の値を求め、それが $\frac{\pi}{2}$ に等しいことを確認する問題です。級数は次の通りです。

$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k)!}{2^{2k}(k!)^2} \frac{1}{2k+1}$

2. 解き方の手順

この級数を解くには、ベータ関数とガンマ関数を利用します。

まず、次の積分表示を考えます。

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2k+1}x \, dx = \frac{2^{2k}(k!)^2}{(2k+1)!}$

したがって、与えられた級数は次のように書き換えることができます。

$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k)!}{2^{2k}(k!)^2} \frac{1}{2k+1} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2k+1)} \frac{(2k)!}{2^{2k}(k!)^2}$

ここで、$\frac{(2k)!}{2^{2k}(k!)^2} = \frac{(2k)!}{4^k(k!)^2}$であることに注意します。

また、$\frac{1}{2k+1} \frac{(2k)!}{4^k(k!)^2} = \frac{1}{4^k} \binom{2k}{k} \frac{1}{2k+1}$ となります。

Wallisの公式（ウォリス積分）から、以下が成り立ちます。

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx = \frac{n-1}{n} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-2} x \, dx$

ここで、与えられた級数を次のように書き換えます。

$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k)!}{2^{2k}(k!)^2} \frac{1}{2k+1} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{4^k (2k+1)} \binom{2k}{k} = \sum_{k=0}^\infty \int_0^1 x^{2k} dx \frac{1}{4^k}\binom{2k}{k}$

ここで、$\sum_{k=0}^\infty \binom{2k}{k} (\frac{x^2}{4})^k = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$であることを利用します。

$\int_0^1 \sum_{k=0}^\infty \binom{2k}{k} (\frac{x^2}{4})^k dx = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = [\arcsin x]_0^1 = \arcsin 1 - \arcsin 0 = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$

したがって、与えられた級数の値は $\frac{\pi}{2}$ になります。

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{2}$