灰色と白色の正方形タイルを並べて正方形を作る。n番目の正方形の一辺に並んだタイルの個数がn個の時、灰色のタイルを221個使う正方形は何番目か。

1. 問題の内容

灰色と白色の正方形タイルを並べて正方形を作る。n番目の正方形の一辺に並んだタイルの個数がn個の時、灰色のタイルを221個使う正方形は何番目か。

2. 解き方の手順

* 偶数番目の正方形では、灰色のタイルと白色のタイルの数は同じになる。

* 奇数番目の正方形では、灰色のタイルは白色のタイルより1個多い。

* kを自然数とする。2k番目（偶数番目）の正方形のタイルの総数は $(2k)^2 = 4k^2$ 個である。

* 灰色と白色のタイル数は等しいので、どちらも $4k^2 \times \frac{1}{2} = 2k^2$ 個。

* 2k-1番目（奇数番目）の正方形のタイルの総数は $(2k-1)^2 = 4k^2 - 4k + 1$ 個。

* 灰色のタイルは白色のタイルより1個多いので、灰色のタイルの数は $\frac{(4k^2 - 4k + 1) + 1}{2} = 2k^2 - 2k + 1$ 個。

* 白色のタイルの数は (4k^2 - 4k + 1) - 1}{2} = 2k^2 - 2k 個。

* 灰色のタイルが221個なので、$2k^2 = 221$ または $2k^2 - 2k + 1 = 221$。

* $2k^2 = 221$ を満たす自然数kは存在しない。

* $2k^2 - 2k + 1 = 221$ を解くと、$2k^2 - 2k - 220 = 0$ より、$k^2 - k - 110 = 0$。 $(k-11)(k+10) = 0$ となるので、$k = 11$ または $k = -10$。

* kは自然数なので、$k=11$。

* よって、求める正方形は2k-1番目で、$k=11$ を代入すると $2 \times 11 - 1 = 21$ (番目)。

3. 最終的な答え

21番目