問題は3つのパートに分かれています。 (1) 連立不等式を解く問題。 (2) 整数 $a$, $b$ をそれぞれ11で割った余りが与えられたとき、$a+b$ と $ab$ を11で割った余りを求める問題。 (3) 偏差の2乗が与えられたデータの標準偏差を求める問題。 (4) 地点A, Bから鉄塔の頂点Pを見上げた仰角と距離AB、角度∠ACBが与えられたときに、鉄塔の高さを求める問題。 (5) 2次関数 $y=-4x^2+4px-(p+2)(p-2)$ に関する問題で、平方完成、最大値、y軸との交点、x軸との交点を求める問題。

1. 問題の内容

問題は3つのパートに分かれています。

(1) 連立不等式を解く問題。

(2) 整数 $a$, $b$ をそれぞれ11で割った余りが与えられたとき、$a+b$ と $ab$ を11で割った余りを求める問題。

(3) 偏差の2乗が与えられたデータの標準偏差を求める問題。

(4) 地点A, Bから鉄塔の頂点Pを見上げた仰角と距離AB、角度∠ACBが与えられたときに、鉄塔の高さを求める問題。

(5) 2次関数 $y=-4x^2+4px-(p+2)(p-2)$ に関する問題で、平方完成、最大値、y軸との交点、x軸との交点を求める問題。

2. 解き方の手順

【1】

(1) 連立不等式を解きます。

$x+7 < 6x-13$ より $5x > 20$ なので $x > 4$

$2x-6 \le 2(7-x)$ より $2x-6 \le 14-2x$ なので $4x \le 20$ より $x \le 5$

よって $4 < x \le 5$

(2)

$a \equiv 5 \pmod{11}$, $b \equiv 7 \pmod{11}$ なので

$a+b \equiv 5+7 \equiv 12 \equiv 1 \pmod{11}$

$ab \equiv 5 \cdot 7 \equiv 35 \equiv 2 \pmod{11}$

(3)

偏差の2乗の合計は $9+81+64+25+1 = 180$

分散は $\frac{180}{5} = 36$

標準偏差は $\sqrt{36} = 6$

【2】

(1)

$\tan \alpha = \frac{h}{AC}$ より $AC = \frac{h}{\tan \alpha}$

$\tan \beta = \frac{h}{BC}$ より $BC = \frac{h}{\tan \beta}$

(2)

$\alpha = 45^\circ$ より $\tan \alpha = 1$

$\beta = 30^\circ$ より $\tan \beta = \frac{1}{\sqrt{3}}$

よって $AC = h$, $BC = \sqrt{3}h$

$\angle ACB = 150^\circ$ より、余弦定理より

$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2AC \cdot BC \cdot \cos 150^\circ$

$140^2 = h^2 + (\sqrt{3}h)^2 - 2h \cdot \sqrt{3}h \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})$

$19600 = h^2 + 3h^2 + 3h^2 = 7h^2$

$h^2 = \frac{19600}{7} = 2800$

$h = \sqrt{2800} = \sqrt{400 \cdot 7} = 20\sqrt{7} = 20 \times 2.646 = 52.92$

小数第1位までなので $h \approx 52.9$

【3】

(1)

$y = -4x^2 + 4px - (p+2)(p-2) = -4(x^2 - px) - (p^2 - 4)$

$y = -4(x^2 - px + \frac{p^2}{4} - \frac{p^2}{4}) - (p^2 - 4)$

$y = -4(x-\frac{p}{2})^2 + p^2 - p^2 + 4 = -4(x-\frac{p}{2})^2 + 4$

よって、平方完成は $y = -4(x-\frac{p}{2})^2 + 4$

最大値は $4$

(2)

y軸との共有点は $x=0$ のときなので

$y = -(p+2)(p-2) = -(p^2-4) = 4-p^2$

$4-p^2 = -2$ より $p^2 = 6$

$p = \pm \sqrt{6}$

(3)

$p = \sqrt{6}$ のとき $y = -4x^2 + 4\sqrt{6}x - (\sqrt{6}+2)(\sqrt{6}-2)$

$y = -4x^2 + 4\sqrt{6}x - (6-4) = -4x^2 + 4\sqrt{6}x - 2$

$y = 0$ とすると $-4x^2 + 4\sqrt{6}x - 2 = 0$

$2x^2 - 2\sqrt{6}x + 1 = 0$

$x = \frac{2\sqrt{6} \pm \sqrt{24-8}}{4} = \frac{2\sqrt{6} \pm \sqrt{16}}{4} = \frac{2\sqrt{6} \pm 4}{4} = \frac{\sqrt{6} \pm 2}{2}$

よって、x軸との交点は $(\frac{\sqrt{6}+2}{2}, 0)$、$(\frac{\sqrt{6}-2}{2}, 0)$

3. 最終的な答え

【1】

(1) ア: $4 < x \le 5$

(2) イ: $1$, ウ: $2$

(3) エ: $6$

【2】

(1) $AC = \frac{h}{\tan \alpha}$, $BC = \frac{h}{\tan \beta}$

(2) $52.9$

【3】

(1) 平方完成: $y = -4(x-\frac{p}{2})^2 + 4$, 最大値: $4$

(2) $p = \pm \sqrt{6}$

(3) $(\frac{\sqrt{6}+2}{2}, 0)$, $(\frac{\sqrt{6}-2}{2}, 0)$