与えられた式 $\frac{\sqrt{8+2\sqrt{3}}}{\sqrt{6}}$ を計算して簡略化します。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{\sqrt{8+2\sqrt{3}}}{\sqrt{6}}$ を計算して簡略化します。

2. 解き方の手順

まず、分子の根号の中身 $8+2\sqrt{3}$ を簡略化します。

$8+2\sqrt{3}$ を $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab}$ の形に変形することを考えます。

$a+b = 8$ かつ $ab = 3$ となる $a$ と $b$ を探します。

$a=1$ と $b=3$ は $a+b = 4$ なので不適です。

$a=5$ と $b=3$ は $ab = 15$ なので不適です。

$a$ と $b$ の組として、$a = 1$と $b = 7$を試すと、$a+b = 8$ かつ $ab = 7$ となり、2$\sqrt{7}$が出てくるので違う。

$8 + 2\sqrt{3}$の根号を外すには、$8+2\sqrt{3} = (\sqrt{x}+\sqrt{y})^2=x+y+2\sqrt{xy}$となるような$x, y$を考える必要があります。すると、$x+y=8$, $xy=3$となり、$x, y$は$t^2-8t+3=0$の解です。解の公式から、$t = \frac{8\pm \sqrt{64-12}}{2} = \frac{8\pm \sqrt{52}}{2} = 4 \pm \sqrt{13}$となるので、うまく根号を外せません。

別のアプローチを試します。

$8+2\sqrt{3}$を$x+y+2\sqrt{xy}$の形にすることを考えてみます。

$x+y = 8$ かつ $xy=3$となる$x$と$y$を探します。

この場合、$8+2\sqrt{3} = 7+1+2\sqrt{7 \cdot 1}$とはなりません。

$8+2\sqrt{3}$に何かを掛けて根号が外れるようにしてみましょう。

$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a+b + 2\sqrt{ab}$ になることを利用します。

$8+2\sqrt{3}$をよく見ると，$8+2\sqrt{3} = (\sqrt{3})^2 + 5 + 2\sqrt{3}$ と変形できます。

ここで、$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a+b+2\sqrt{ab}$の形にうまくできないかと考えます。

$x+y = 8$、$xy = 3$とすると、$x, y$は$t^2 - 8t + 3 = 0$の解になります。

しかし、$t=4 \pm \sqrt{13}$となるため、$8+2\sqrt{3}$を簡単に変形するのは難しそうです。

$\frac{\sqrt{8+2\sqrt{3}}}{\sqrt{6}}$において、分母と分子に$\sqrt{2}$を掛けます。

$\frac{\sqrt{8+2\sqrt{3}}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{16+4\sqrt{3}}}{\sqrt{12}} = \frac{\sqrt{16+2\sqrt{12}}}{\sqrt{12}}$

ここで、$16+2\sqrt{12} = 16+2\sqrt{4\cdot 3} = 16+4\sqrt{3}$

$\frac{\sqrt{16+4\sqrt{3}}}{\sqrt{12}} = \frac{\sqrt{4(4+\sqrt{3})}}{\sqrt{12}} = \frac{2\sqrt{4+\sqrt{3}}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{4+\sqrt{3}}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{12+3\sqrt{3}}}{3}$

$\frac{\sqrt{8+2\sqrt{3}}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{8+2\sqrt{3}} \cdot \sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{48+12\sqrt{3}}}{6} = \frac{\sqrt{48+2\sqrt{108}}}{6}$

別の方法で解いてみます。

$\sqrt{8+2\sqrt{3}}$を$(a+b\sqrt{3})^2 = a^2+3b^2 + 2ab\sqrt{3}$の形に変形します。

$a^2 + 3b^2 = 8$、$2ab = 2 \Rightarrow ab = 1$

$a = 1/b$ を代入すると、$1/b^2 + 3b^2 = 8$

$3b^4 - 8b^2 + 1 = 0$

$b^2 = \frac{8\pm \sqrt{64-12}}{6} = \frac{4\pm\sqrt{13}}{3}$

これはうまく行きそうにありません。

しかし、$(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2$の形にできないか再度検討します。

$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = a+b + 2\sqrt{ab}$ なので、$a+b = 8$ かつ $ab = 3$ を満たす $a,b$を探します。

解の公式より、$t = \frac{8 \pm \sqrt{64-12}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{52}}{2} = 4 \pm \sqrt{13}$

そのため、この形にもできません。

$\frac{\sqrt{8+2\sqrt{3}}}{\sqrt{6}}$を$\frac{\sqrt{8+2\sqrt{3}}\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{48+12\sqrt{3}}}{6} = \frac{\sqrt{48+2\sqrt{108}}}{6}$と変形するのは適切ではありません。

もう一度、分子に注目します。$\sqrt{8+2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2/2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{3}+1$とすると

$\frac{\sqrt{8+2\sqrt{3}}}{\sqrt{6}} = \frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{18}}{6} = \frac{\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{6} + \frac{3\sqrt{2}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{6} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{\sqrt{8+2\sqrt{3}}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{18}+\sqrt{6}}{6} = \frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{6}$