画像にある数学の問題を解きます。問題は全部で3題あります。 問題1は4つの小問から構成されています。 問題2は2次関数に関する問題で、2つの小問があります。 問題3は図形問題で、3つの小問があります。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

画像にある数学の問題を解きます。問題は全部で3題あります。

問題1は4つの小問から構成されています。

問題2は2次関数に関する問題で、2つの小問があります。

問題3は図形問題で、3つの小問があります。

2. 解き方の手順

各問題と小問について、順に解き方を説明します。

**【1】**

(1) $2a^2 + 11ab - 21b^2$を因数分解します。

$2a^2 + 11ab - 21b^2 = (2a - 3b)(a + 7b)$

(2) $n < \sqrt{139} < n+1$を満たす自然数 $n$ を求めます。

$\sqrt{139}$ は11と12の間にあるので、$n=11$

(3) データ 2.8, 8.5, 8.4, 7.0, 10.9, 3.1, 8.5, 12.0 の中央値を求めます。

データを小さい順に並べると、2.8, 3.1, 7.0, 8.4, 8.5, 8.5, 10.9, 12.0。

データ数が8個なので、中央値は4番目と5番目の平均値です。

中央値 = $(8.4 + 8.5) / 2 = 8.45$

(4) 1から100までの自然数のうち、3または4で割り切れる数の確率を求めます。

3で割り切れる数は33個、4で割り切れる数は25個。

3と4の両方で割り切れる数（12の倍数）は8個。

3または4で割り切れる数は、33 + 25 - 8 = 50個。

確率は 50/100 = 1/2 = 0.5

**【2】**

$y = x^2 - 4x + n$

(1) グラフの頂点Pがx軸と異なる2点で交わるための $n$ の値を求めます。

$y = x^2 - 4x + n = (x - 2)^2 - 4 + n$

頂点のy座標は $-4 + n$ なので、これが0より小さければよい。

$-4 + n < 0$

$n < 4$

$n$ は正の整数なので、$n = 1, 2, 3$

(2) $n$ が最小のとき ($n=1$) のグラフの頂点P、x軸との共有点A, B、y軸との共有点Cの座標を求めます。

$y = x^2 - 4x + 1$

頂点P：$y = (x - 2)^2 - 3$ より、P(2, -3)

x軸との共有点A, B：$x^2 - 4x + 1 = 0$ を解いて、$x = (4 \pm \sqrt{16-4}) / 2 = 2 \pm \sqrt{3}$ より、A(2 - $\sqrt{3}$, 0), B(2 + $\sqrt{3}$, 0)

y軸との共有点C：$x = 0$ のとき $y = 1$ より、C(0, 1)

**【3】**

(1) $\alpha$ に最も近い角を求めます。

$\tan \alpha = \frac{AH}{AP} = \frac{BQ - PQ}{AP}$

$PQ = \sqrt{AB^2 - (BQ - AP)^2} = \sqrt{47^2 - (100 - 80)^2} = \sqrt{2209 - 400} = \sqrt{1809} \approx 42.5$

$AH = 100 - 42.5 = 57.5$

$\tan \alpha = \frac{57.5}{80} = 0.71875$

$\alpha \approx \arctan(0.71875) \approx 35.7^\circ$

3ページ目の三角比の表から、$\alpha \approx 36^\circ$

(2) $\beta$ に最も近い角を求めます。

$\tan \beta = \frac{CK}{CR} = \frac{BQ - QR}{CR}$

$QR = \sqrt{BC^2 - (BQ - CR)^2} = \sqrt{62^2 - (100 - 60)^2} = \sqrt{3844 - 1600} = \sqrt{2244} \approx 47.4$

$CK = 100 - 47.4 = 52.6$

$\tan \beta = \frac{52.6}{60} = 0.8767$

$\beta \approx \arctan(0.8767) \approx 41.2^\circ$

3ページ目の三角比の表から、$\beta \approx 41^\circ$

(3) 3点 P, Q, R が一直線上にあるとき、PRの距離を求めます。

PR = PQ + QR = $\sqrt{AB^2 - (BQ - AP)^2} + \sqrt{BC^2 - (BQ - CR)^2} = \sqrt{47^2 - (100-80)^2} + \sqrt{62^2 - (100-60)^2}$

PR = $\sqrt{1809} + \sqrt{2244} \approx 42.5 + 47.4 \approx 89.9$

小数第2位を四捨五入して、小数第1位まで求めると、PR = 90.0

3. 最終的な答え

【1】

(1) (2a - 3b)(a + 7b)

(2) 11

(3) 8.45

(4) 0.5

【2】

(1) n = 1, 2, 3

(2) P(2, -3), A(2 - $\sqrt{3}$, 0), B(2 + $\sqrt{3}$, 0), C(0, 1)

【3】

(1) 36°

(2) 41°

(3) 90.0