次の和 $S$ を求めます。 $S = 1 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + 7 \cdot 2^2 + \dots + (3n-2) \cdot 2^{n-1}$

1. 問題の内容

次の和 $S$ を求めます。

$S = 1 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + 7 \cdot 2^2 + \dots + (3n-2) \cdot 2^{n-1}$

2. 解き方の手順

この和は、等差数列と等比数列の積の和の形をしています。このような和を求める一般的な方法は、和 $S$ に等比数列の公比（この場合は2）をかけたもの $2S$ を計算し、$S$ から $2S$ を引くことです。

$S = 1 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + 7 \cdot 2^2 + \dots + (3n-2) \cdot 2^{n-1}$

両辺に2をかけると、

$2S = 1 \cdot 2 + 4 \cdot 2^2 + 7 \cdot 2^3 + \dots + (3n-5) \cdot 2^{n-1} + (3n-2) \cdot 2^{n}$

$S - 2S$ を計算すると、

$-S = 1 \cdot 1 + (4-1) \cdot 2 + (7-4) \cdot 2^2 + \dots + (3n-2 - (3n-5)) \cdot 2^{n-1} - (3n-2) \cdot 2^{n}$

$-S = 1 + 3 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + \dots + 3 \cdot 2^{n-1} - (3n-2) \cdot 2^{n}$

$1 + 3 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + \dots + 3 \cdot 2^{n-1}$ の部分は、初項1、第2項から公比2の等比数列となります。

$1 + 3(2 + 2^2 + \dots + 2^{n-1}) = 1 + 3 \cdot \frac{2(2^{n-1} - 1)}{2 - 1} = 1 + 3 \cdot 2(2^{n-1} - 1) = 1 + 6(2^{n-1} - 1) = 1 + 3 \cdot 2^n - 6 = 3 \cdot 2^n - 5$

よって、

$-S = 3 \cdot 2^n - 5 - (3n-2) \cdot 2^n$

$-S = 3 \cdot 2^n - 5 - 3n \cdot 2^n + 2 \cdot 2^n$

$-S = (5-3n) \cdot 2^n - 5$

$S = (3n-5) \cdot 2^n + 5$

3. 最終的な答え

$(3n-5)2^n + 5$