次の和 $S$ を求めよ。 $S = 1 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + 7 \cdot 2^2 + \dots + (3n-2) \cdot 2^{n-1}$

1. 問題の内容

次の和 $S$ を求めよ。

$S = 1 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + 7 \cdot 2^2 + \dots + (3n-2) \cdot 2^{n-1}$

2. 解き方の手順

この和は、等差数列と等比数列の積の形になっているので、等比数列の公比を掛けてずらすことで解くことができます。

まず、$S$ を書き出します。

$S = 1 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + 7 \cdot 2^2 + \dots + (3n-2) \cdot 2^{n-1}$

次に、$S$ に公比である $2$ を掛けた $2S$ を計算します。

$2S = 1 \cdot 2 + 4 \cdot 2^2 + 7 \cdot 2^3 + \dots + (3n-2) \cdot 2^{n}$

$S$ から $2S$ を引きます。

$S - 2S = (1 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + 7 \cdot 2^2 + \dots + (3n-2) \cdot 2^{n-1}) - (1 \cdot 2 + 4 \cdot 2^2 + 7 \cdot 2^3 + \dots + (3n-2) \cdot 2^{n})$

$-S = 1 \cdot 1 + (4-1) \cdot 2 + (7-4) \cdot 2^2 + \dots + (3n-2 - (3n-5)) \cdot 2^{n-1} - (3n-2) \cdot 2^{n}$

$-S = 1 + 3 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + \dots + 3 \cdot 2^{n-1} - (3n-2) \cdot 2^{n}$

等比数列の部分の和を計算します。

$T = 3 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + \dots + 3 \cdot 2^{n-1}$

$T = 3(2 + 2^2 + \dots + 2^{n-1})$

$T = 3 \cdot \frac{2(2^{n-1} - 1)}{2-1} = 3 \cdot 2(2^{n-1} - 1) = 6(2^{n-1} - 1) = 3 \cdot 2^n - 6$

したがって、

$-S = 1 + 3 \cdot 2^n - 6 - (3n-2) \cdot 2^{n}$

$-S = 3 \cdot 2^n - (3n-2) \cdot 2^n - 5$

$-S = (3 - (3n-2)) \cdot 2^n - 5$

$-S = (5 - 3n) \cdot 2^n - 5$

$S = (3n-5) \cdot 2^n + 5$

3. 最終的な答え

$S = (3n-5)2^n + 5$