放物線 $y = -x^2 + 2x + 1$ を平行移動した曲線で、原点を通る。その放物線の頂点が直線 $y = 2x - 1$ 上にあるとき、平行移動後の放物線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = -x^2 + 2x + 1$ を平行移動した曲線で、原点を通る。その放物線の頂点が直線 $y = 2x - 1$ 上にあるとき、平行移動後の放物線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた放物線 $y = -x^2 + 2x + 1$ を平方完成する。

\begin{align*}

y &= -(x^2 - 2x) + 1 \\

&= -(x^2 - 2x + 1 - 1) + 1 \\

&= -(x - 1)^2 + 1 + 1 \\

&= -(x - 1)^2 + 2

\end{align*}

したがって、元の放物線の頂点は $(1, 2)$ である。

平行移動後の放物線の頂点を $(p, q)$ とする。このとき、放物線の式は

$y = -(x - p)^2 + q$ と表される。

この放物線は原点を通るので、$x = 0, y = 0$ を代入すると、

$0 = -(0 - p)^2 + q$

$0 = -p^2 + q$

$q = p^2$

また、頂点 $(p, q)$ は直線 $y = 2x - 1$ 上にあるので、

$q = 2p - 1$

したがって、$q$ についての方程式 $p^2 = 2p - 1$ が得られる。

$p^2 - 2p + 1 = 0$

$(p - 1)^2 = 0$

$p = 1$

$q = p^2 = 1^2 = 1$

したがって、頂点は $(1, 1)$ である。

よって、平行移動後の放物線の方程式は

$y = -(x - 1)^2 + 1$

$y = -(x^2 - 2x + 1) + 1$

$y = -x^2 + 2x - 1 + 1$

$y = -x^2 + 2x$

3. 最終的な答え

$y = -x^2 + 2x$