2次正方行列 $A$ が相異なる固有値 $\lambda_1, \lambda_2$ を持つとする。固有値 $\lambda_k$ に対する固有ベクトルを $\vec{x_k}$ とするとき、$\vec{x_1}$ と $\vec{x_2}$ は平行でないことを示せ。

1. 問題の内容

2次正方行列 $A$ が相異なる固有値 $\lambda_1, \lambda_2$ を持つとする。固有値 $\lambda_k$ に対する固有ベクトルを $\vec{x_k}$ とするとき、$\vec{x_1}$ と $\vec{x_2}$ は平行でないことを示せ。

2. 解き方の手順

背理法で示す。$\vec{x_1}$ と $\vec{x_2}$ が平行であると仮定する。

このとき、あるスカラー $c$ が存在して、

$\vec{x_2} = c\vec{x_1}$

と表せる。

$\vec{x_1}$ は固有値 $\lambda_1$ に対する固有ベクトルなので、

$A\vec{x_1} = \lambda_1 \vec{x_1}$

$\vec{x_2}$ は固有値 $\lambda_2$ に対する固有ベクトルなので、

$A\vec{x_2} = \lambda_2 \vec{x_2}$

$\vec{x_2} = c\vec{x_1}$ を代入すると、

$A(c\vec{x_1}) = \lambda_2 (c\vec{x_1})$

$c(A\vec{x_1}) = c\lambda_2 \vec{x_1}$

$A\vec{x_1} = \lambda_1 \vec{x_1}$ を代入すると、

$c(\lambda_1 \vec{x_1}) = c\lambda_2 \vec{x_1}$

$c\lambda_1 \vec{x_1} = c\lambda_2 \vec{x_1}$

$c\lambda_1 \vec{x_1} - c\lambda_2 \vec{x_1} = \vec{0}$

$c(\lambda_1 - \lambda_2)\vec{x_1} = \vec{0}$

$\vec{x_1}$ は固有ベクトルなので、$\vec{x_1} \neq \vec{0}$。また、$c \neq 0$。したがって、

$\lambda_1 - \lambda_2 = 0$

$\lambda_1 = \lambda_2$

これは $\lambda_1$ と $\lambda_2$ が相異なるという仮定に矛盾する。

よって、$\vec{x_1}$ と $\vec{x_2}$ は平行ではない。

3. 最終的な答え

$\vec{x_1}$ と $\vec{x_2}$ は平行ではない。