与えられた式 $(\sqrt{6} + 2\sqrt{2})^2 - \sqrt{3}(3\sqrt{3} + 8)$ を計算し、簡略化せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(\sqrt{6} + 2\sqrt{2})^2 - \sqrt{3}(3\sqrt{3} + 8)$ を計算し、簡略化せよ。

2. 解き方の手順

まず、$(\sqrt{6} + 2\sqrt{2})^2$ を展開する。

$(\sqrt{6} + 2\sqrt{2})^2 = (\sqrt{6})^2 + 2(\sqrt{6})(2\sqrt{2}) + (2\sqrt{2})^2 = 6 + 4\sqrt{12} + 8 = 14 + 4\sqrt{4 \times 3} = 14 + 4 \times 2\sqrt{3} = 14 + 8\sqrt{3}$

次に、$\sqrt{3}(3\sqrt{3} + 8)$ を展開する。

$\sqrt{3}(3\sqrt{3} + 8) = 3(\sqrt{3})^2 + 8\sqrt{3} = 3(3) + 8\sqrt{3} = 9 + 8\sqrt{3}$

最後に、これらの結果を元の式に代入して計算する。

$(\sqrt{6} + 2\sqrt{2})^2 - \sqrt{3}(3\sqrt{3} + 8) = (14 + 8\sqrt{3}) - (9 + 8\sqrt{3}) = 14 + 8\sqrt{3} - 9 - 8\sqrt{3}$

$= 14 - 9 + 8\sqrt{3} - 8\sqrt{3} = 5 + 0 = 5$

3. 最終的な答え

5