2つの直線 $l_1: (a-1)(x+1) - (a+1)y = 0$ と $l_2: ax - y - 1 = 0$ が与えられています。 (1) 直線 $l_1$ が $a$ の値によらず通る定点の座標を求めます。 (2) $a$ が実数全体を動くとき、$l_1$ と $l_2$ の交点の軌跡を求めます。

1. 問題の内容

2つの直線 $l_1: (a-1)(x+1) - (a+1)y = 0$ と $l_2: ax - y - 1 = 0$ が与えられています。

(1) 直線 $l_1$ が $a$ の値によらず通る定点の座標を求めます。

(2) $a$ が実数全体を動くとき、$l_1$ と $l_2$ の交点の軌跡を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $l_1$ の式を $a$ について整理します。

$(a-1)(x+1) - (a+1)y = 0$

$a(x+1) - (x+1) - ay - y = 0$

$a(x+1-y) - (x+1+y) = 0$

この式が任意の $a$ について成り立つためには、

$x+1-y = 0$ かつ $x+1+y = 0$ である必要があります。

これら2つの式を連立させて解きます。

$x+1-y = 0$

$x+1+y = 0$

2つの式を足すと、

$2(x+1) = 0$

$x = -1$

$x = -1$ を $x+1-y = 0$ に代入すると、

$-1 + 1 - y = 0$

$y = 0$

したがって、直線 $l_1$ は $a$ の値によらず定点 $(-1, 0)$ を通ります。

(2) $l_1$ と $l_2$ の交点の軌跡を求めます。

$l_1: (a-1)(x+1) - (a+1)y = 0$

$l_2: ax - y - 1 = 0$

$l_1$ の式から $a$ について整理すると、

$a(x+1-y) - (x+1+y) = 0$

$a(x+1-y) = x+1+y$

$a = \frac{x+1+y}{x+1-y}$ (ただし、$x+1-y \neq 0$)

$l_2$ の式から $a$ について解くと、

$a = \frac{y+1}{x}$ (ただし、$x \neq 0$)

2つの式から $a$ を消去します。

$\frac{x+1+y}{x+1-y} = \frac{y+1}{x}$

$x(x+1+y) = (y+1)(x+1-y)$

$x^2 + x + xy = xy + y + x + 1 - y^2 - y$

$x^2 = 1 - y^2$

$x^2 + y^2 = 1$

ただし、$x \neq 0$ かつ $x+1-y \neq 0$。

$x+1-y = 0$ を満たす $x, y$ は、$x^2 + y^2 = 1$ 上の点ではありません。

$x = 0$ のとき、$l_2$ より $y = -1$. このとき、$l_1$ は $a(0+1) - (0+1)y = a - y = 0$ であり、$l_2$ は $0 - y - 1 = 0$ より $y = -1$. このとき、$a=-1$ となり条件を満たす。

また、$x+1-y = 0$ より、$y = x+1$. これを $x^2+y^2 = 1$ に代入すると、$x^2 + (x+1)^2 = 1$。 $x^2 + x^2 + 2x + 1 = 1$。 $2x^2 + 2x = 0$。 $2x(x+1) = 0$。 よって $x = 0, -1$.

$x=0$のとき、$y=1$, $x=-1$のとき、$y=0$となり$l_1$の定点に一致する。

したがって、$x^2 + y^2 = 1$ かつ $(-1,0)$を除く。

また、$x \neq 0$の条件より点$(0,1),(0,-1)$を除く。

3. 最終的な答え

(1) 定点の座標: $(-1, 0)$

(2) 交点の軌跡: $x^2 + y^2 = 1$ ただし、点 $(-1, 0)$、$(0,1),(0,-1)$を除く。