与えられた多項式 $x^2 + xy - 2y^2 + 2x + 7y - 3$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた多項式 $x^2 + xy - 2y^2 + 2x + 7y - 3$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$x^2 + (y+2)x + (-2y^2 + 7y - 3)$

次に、定数項である $-2y^2 + 7y - 3$ を因数分解します。

$-2y^2 + 7y - 3 = -(2y^2 - 7y + 3) = -(2y-1)(y-3) = (1-2y)(y-3)$

与式は

$x^2 + (y+2)x + (1-2y)(y-3)$

と書けます。

$x$ についての二次式と見て、因数分解できるか試します。

$(x + a)(x + b) = x^2 + (a+b)x + ab$

の形を目指します。

$a+b = y+2$

$ab = (1-2y)(y-3)$

となる $a$ と $b$ を見つけます。

$a = (x + (y - 3))$

$b = (x + (1 - 2y))$

$y-3 + 1 - 2y = -y - 2$ であるため、符号を変えて

$a = (x + (1 - 2y))$

$b = (x + (y - 3))$

とすると

$a = (x + (y - 3))$

$b = (x + (1-2y))$

$a + b = y - 3 + 1 - 2y = -y - 2$

符号が合いません。

$x^2 + (y+2)x + (1-2y)(y-3)$を因数分解する。

$(x + (y - 3))(x + (1-2y))$を展開すると $x^2 + x - 2xy + xy - 3x + y - 3 - 2y^2$

$x^2 + (y+2)x - 2y^2 + 7y - 3 = (x + ay + b)(x + cy + d)$と仮定する。

$a + c = 1$

$b + d = 2$

$ac = -2$

$ad + bc = 7$

$bd = -3$

これを解くと、$a=2, c=-1, b=-1, d=3$

$(x+2y-1)(x-y+3)$

$(x+2y-1)(x-y+3) = x^2 -xy + 3x + 2xy - 2y^2 + 6y - x + y - 3 = x^2 + xy + 2x - 2y^2 + 7y - 3$

3. 最終的な答え

$(x + 2y - 1)(x - y + 3)$