問題文は、$R = \frac{D_{n+m}^2 - D_n^2}{4m\lambda}$ を、$D_{n+m}$ と $D_n$, $\lambda$ を変数として全微分することを求めています。

1. 問題の内容

問題文は、$R = \frac{D_{n+m}^2 - D_n^2}{4m\lambda}$ を、$D_{n+m}$ と $D_n$, $\lambda$ を変数として全微分することを求めています。

2. 解き方の手順

まず、$R$ を各変数で偏微分します。

(1) $D_{n+m}$ で偏微分します。

$\frac{\partial R}{\partial D_{n+m}} = \frac{2D_{n+m}}{4m\lambda} = \frac{D_{n+m}}{2m\lambda}$

(2) $D_{n}$ で偏微分します。

$\frac{\partial R}{\partial D_{n}} = \frac{-2D_{n}}{4m\lambda} = \frac{-D_{n}}{2m\lambda}$

(3) $\lambda$ で偏微分します。

$\frac{\partial R}{\partial \lambda} = (D_{n+m}^2 - D_n^2) \cdot \frac{-1}{4m\lambda^2} = -\frac{D_{n+m}^2 - D_n^2}{4m\lambda^2}$

全微分は、各変数の偏微分にその変数の微小変化をかけたものを足し合わせたものです。

$dR = \frac{\partial R}{\partial D_{n+m}} dD_{n+m} + \frac{\partial R}{\partial D_{n}} dD_{n} + \frac{\partial R}{\partial \lambda} d\lambda$

これを代入して、

$dR = \frac{D_{n+m}}{2m\lambda} dD_{n+m} - \frac{D_{n}}{2m\lambda} dD_{n} - \frac{D_{n+m}^2 - D_n^2}{4m\lambda^2} d\lambda$

3. 最終的な答え

$dR = \frac{D_{n+m}}{2m\lambda} dD_{n+m} - \frac{D_{n}}{2m\lambda} dD_{n} - \frac{D_{n+m}^2 - D_n^2}{4m\lambda^2} d\lambda$