$\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{3}{x})^x$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{3}{x})^x$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、自然対数 $e$ の定義を思い出します。

$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = e$

この形に近づけるために、与えられた式を変形します。

$y = (1 - \frac{3}{x})^x$ とおきます。

両辺の自然対数を取ると、

$\ln y = \ln (1 - \frac{3}{x})^x = x \ln (1 - \frac{3}{x})$

ここで、$t = -\frac{x}{3}$ とおくと、$x = -3t$ であり、$x \to \infty$ のとき $t \to -\infty$ となります。

したがって、

$\ln y = -3t \ln (1 + \frac{1}{t})$

$t \to -\infty$ より、$s = -t$ と置くと、$t = -s$ であり、$t \to -\infty$ のとき $s \to \infty$ となります。

$\ln y = 3s \ln (1 - \frac{1}{s})$

ここで、$\lim_{s \to \infty} s \ln (1 - \frac{1}{s})$ を考えます。

$\lim_{s \to \infty} s \ln (1 - \frac{1}{s}) = \lim_{s \to \infty} \frac{\ln (1 - \frac{1}{s})}{\frac{1}{s}}$

これは $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を用いることができます。

$\lim_{s \to \infty} \frac{\ln (1 - \frac{1}{s})}{\frac{1}{s}} = \lim_{s \to \infty} \frac{\frac{1}{1 - \frac{1}{s}} \cdot \frac{1}{s^2}}{-\frac{1}{s^2}} = \lim_{s \to \infty} \frac{\frac{1}{1 - \frac{1}{s}}}{-1} = \lim_{s \to \infty} \frac{1}{-1 + \frac{1}{s}} = -1$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \ln y = \lim_{s \to \infty} 3s \ln (1 - \frac{1}{s}) = 3 \cdot (-1) = -3$

$\lim_{x \to \infty} \ln y = -3$ より、$\lim_{x \to \infty} y = e^{-3}$ となります。

3. 最終的な答え

$e^{-3}$