$\lim_{x \to 0} \frac{(e^x - e^{-x})^2}{x^2}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{(e^x - e^{-x})^2}{x^2}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$e^x$ と $e^{-x}$ をそれぞれマクローリン展開（テイラー展開）します。

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ...$

$e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + ...$

したがって、

$e^x - e^{-x} = (1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ...) - (1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + ...)$

$= 2x + 2\frac{x^3}{3!} + 2\frac{x^5}{5!} + ...$

$= 2x + O(x^3)$

ここで、与えられた式に代入すると

$\lim_{x \to 0} \frac{(e^x - e^{-x})^2}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{(2x + 2\frac{x^3}{3!} + 2\frac{x^5}{5!} + ...)^2}{x^2}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{(2x + O(x^3))^2}{x^2}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{4x^2 + O(x^4)}{x^2}$

$= \lim_{x \to 0} (4 + O(x^2))$

$= 4$

別の解き方として、ロピタルの定理を使う方法もあります。

$\lim_{x \to 0} \frac{(e^x - e^{-x})^2}{x^2}$ は $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用できます。

分子を微分すると $2(e^x - e^{-x})(e^x + e^{-x})$ となります。

分母を微分すると $2x$ となります。

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{2(e^x - e^{-x})(e^x + e^{-x})}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{(e^x - e^{-x})(e^x + e^{-x})}{x}$

これもまた $\frac{0}{0}$ の不定形なので、再度ロピタルの定理を適用します。

分子を微分すると $(e^x + e^{-x})^2 + (e^x - e^{-x})(e^x - e^{-x}) = (e^x + e^{-x})^2 + (e^x - e^{-x})^2$ となります。

分母を微分すると $1$ となります。

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{(e^x + e^{-x})^2 + (e^x - e^{-x})^2}{1} = (e^0 + e^{-0})^2 + (e^0 - e^{-0})^2 = (1+1)^2 + (1-1)^2 = 2^2 + 0^2 = 4$

3. 最終的な答え

4