7個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5, 6の中から異なる5個を選んで並べ、5桁の整数を作る。次の問いに答えよ。 (1) 5桁の偶数は何個作れるか。 (2) 5桁の5の倍数は何個作れるか。

1. 問題の内容

7個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5, 6の中から異なる5個を選んで並べ、5桁の整数を作る。次の問いに答えよ。

(1) 5桁の偶数は何個作れるか。

(2) 5桁の5の倍数は何個作れるか。

2. 解き方の手順

(1) 5桁の偶数について

5桁の整数が偶数であるためには、一の位が0, 2, 4, 6のいずれかである必要がある。

(i) 一の位が0の場合

残りの4桁は、残りの6個の数字から4個を選んで並べる順列であるため、${}_6 P_4 = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$通り。

(ii) 一の位が2, 4, 6の場合

一の位は3通り。

万の位は0以外の5通り。

残りの3桁は、残りの5個の数字から3個を選んで並べる順列であるため、${}_5 P_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$通り。

したがって、$3 \times 5 \times 60 = 900$通り。

よって、5桁の偶数の個数は、$360 + 900 = 1260$個。

(2) 5桁の5の倍数について

5桁の整数が5の倍数であるためには、一の位が0または5である必要がある。

(i) 一の位が0の場合

残りの4桁は、残りの6個の数字から4個を選んで並べる順列であるため、${}_6 P_4 = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$通り。

(ii) 一の位が5の場合

万の位は0以外の5通り。

残りの3桁は、残りの5個の数字から3個を選んで並べる順列であるため、${}_5 P_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$通り。

したがって、$5 \times 60 = 300$通り。

よって、5桁の5の倍数の個数は、$360 + 300 = 660$個。

3. 最終的な答え

(1) 5桁の偶数の個数: 1260個

(2) 5桁の5の倍数の個数: 660個